Всего: 44 1–20 | 21–40 | 41–44
Добавить в вариант
Две правильные треугольные пирамиды имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. В пирамиды вписаны шары радиуса r. Третий шар радиуса R касается внешним образом обеих пирамид и вписанных в них шаров. Найдите плоский угол при вершине пирамид, если R : r = 2 : 1.
Пусть M — точка касания с гранью ASB шара, вписанного в первую пирамиду. В этой же точке касается ASB и внешний шар. Поэтому точка M лежит на отрезке OO1, причем 
Аналогично получается, что 
Выберем точку N на отрезке OK так, что отрезок NM перпендикулярен OO1, и положим 
(см. верхний рисунок). Тогда 
откуда 
—
и 
Опустим из точек A и C перпендикуляры на ребро BS. Они придут в одну точку L, так как треугольники ASB и BSC равны. По доказанному 
Заметим, что 
Даны две правильные четырехугольные пирамиды с плоским углом при вершине 
Они имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. В пирамиды вписаны шары радиуса r. Третий шар радиуса R касается внешним образом обеих пирамид и вписанных в них шаров. Найдите отношение R к r.
Заметим, что 
Два шара касаются внешним образом друг друга и всех конусов. Найдите отношения радиусов шаров (большего к меньшему).
Этот угол одинаков для всех конусов, поскольку 
Значит, луч OP образует угол 
с осями симметрии всех конусов. Аналогично доказывается, что на этом луче лежит и точка Q
Поэтому 
мы получим 
откуда 
и 
Тогда 
данные точки, O — центр сферы. Обозначим 
Тогда сумма квадратов расстояний между точками 
то есть
или 
Рассмотрим возможные варианты. 
то 
(рис. 1) или 
(рис. 2).
то 
(рис. 3) или 
(рис. 4). На третьем рисунке 
представлен на четвертом рисунке.
то есть
или 
Рассмотрим возможные варианты. 
то 
(рис. 1) или 
(рис. 2), тогда 
то 
(рис. 3) или 
(рис. 4). Из третьего рисунка найдем:
представлен на рис. 4.
Все рёбра правильной n-угольной усеченной пирамиды, описанной около сферы σ, касаются сферы ω с центром в центре нижнего основания этой пирамиды. Докажите, что n = 3 и найдите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания.
M и M1 — середины ребер AB и A1B1 этой пирамиды. Тогда 
(как отрезки двух касательных к сфере σ) и 
(как отрезки двух касательных к сфере ω).
то есть 
Из равенства прямоугольных треугольников OAM и OAP (где 
и 
имеем: 
На сфере радиуса 1 дан треугольник, стороны которого — дуги трёх различных окружностей радиуса 1 с центром в центре сферы, имеющие длины меньше π, а площадь равна четверти площади сферы. Докажите, что четырьмя копиями такого треугольника можно покрыть всю сферу.
(А. Заславский)
(Доказательство формулы площади заключается в применении формулы включений-исключений к трем полусферам, пересечением которых является данный треугольник.)
и симметрии относительно серединного перпендикуляра к AB). Тогда треугольники ABC и BAD равны. Значит, 
и 
также равны треугольнику 
Четыре полученных треугольника покрывают сферу.
Если плоскость 
содержит центр O сферы, то сферический треугольник ABC вырожден, и его площадь не такая, как надо. Иначе 
отрезает от сферы «шапочку» площади меньше полусферы. Далее, прямая AB (нестрого) разделяет C и проекцию O на 
значит, часть шапочки, отсекаемая плоскостью OAB и содержащая C, не больше её половины. Наконец, сферический треугольник 
лежит в этой области, площадь которой меньше четверти площади сферы — противоречие.
—
разбивают пространство, то есть каждый из них равен четверти площади единичной сферы. Однако, если 
и упомянутые телесные углы дают требуемое разбиение сферы на 4 части.Обсуждая в классе зимние каникулы, Саша сказал: «Теперь, после того как я слетал в Аддис-Абебу, я встречал Новый год во всех возможных полусферах Земли, кроме одной!» В каком минимальном количестве мест встречал Новый год Саша? Места, где Саша встречал Новый год, считайте точками на сфере. Точки на границе полусферы не считаются принадлежащими этой полусфере.
(И. Думанский, Р. Крутовский)
Аддис-Абебе точка находится в Тихом океане, и Саша там жить не может.
с центром 
Пусть 
и 
это вписанная и описанная окружности соответственно. Рассмотрим сферу S с центром C, которая пересекает плоскость 
угольника по окружности 
и рассмотрим конус с основанием 
в который вписана эта сфера. Пусть 
все боковые рёбра и 49 рёбер основания касаются сферы S, а ребро 
—
и 
пересекаются в точке B. Тогда пирамида 
—
и 
получающихся из J поднятием и опусканием относительно 
параллельная 
касается четырёх остальных сфер; 
поместим в точке 
с координатами 
возьмем радиуса 1, а центры этих сфер поместим в точки 
(a выберем позже). 
Можно подобрать a так, чтобы плоскость 
находилась на расстоянии 
от точки 
тогда плоскость 
проходящая через 
и параллельная плоскости 
будет касаться сфер 
Действительно, уравнение плоскости 
и достаточно положить 
так, чтобы плоскость 
вокруг оси Oz и симметрии относительно плоскости Оху. Поэтому условие задачи выполняется также для центров 
Луноход ездит по поверхности планеты, имеющей форму шара с длиной экватора 400 км. Планета считается полностью исследованной, если луноход побывал на расстоянии по поверхности не более 50 км от каждой точки поверхности и вернулся на базу (в исходную точку). Может ли луноход полностью исследовать планету, преодолев не более 600 км?
(М. Евдокимов)
экватора, поэтому длина пути составляет 600 км.
раз меньше длины экватора. Из этого будет следовать, что длина пути равна 
что примерно равно 566.
Значит, радиус меньшей окружности в 
Точки ABOBOA образуют прямоугольную трапецию со сторонами 
основания которой — BOB и AOA, причём BOB перпендикулярна AB и AOA перпендикулярна AB. Пусть, для определённости, 
Проведём из OA к стороне BOB высоту OAD. Точки AOADB образуют прямоугольник, и 
Тогда 
и для прямоугольного треугольника OADOB можно написать теорему Пифагора: 
Рассматривая другие пары шаров, аналогично получим 
и 
Поэтому 
Дана пирамида ABCD, вершина A которой лежит на одной сфере с серединами всех её рёбер, кроме ребра AD. Известно, что AB = 1, BD = 2, CD = 3. Найдите длину ребра BC. Какой наименьший радиус может иметь сфера, описанная около данной пирамиды?
), поэтому 
Поскольку 
и 
то плоскость ADD′ перпендикулярна BC и 
откуда 
Из прямоугольного треугольника ABC находим 
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, грани ABCD и CDD1C1 которого являются прямоугольниками. Сфера S касается прямых B1C1 и C1D1, плоскости CDD1, а также плоскости ABC в точке A. Эта сфера повторно пересекает отрезок AC1 в точке M. Найдите 
и объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если известно, что AM = 5, C1M = 3.
и 
(отсюда 
Сфера S касается ABC в точке A, поэтому O лежит на перпендикуляре к плоскости ABC, проходящем через точку A. Так как плоскости A1AD и ABC перпендикулярны, точка O лежит в плоскости AA1D. Поскольку сфера S касается прямой C1D1, плоскости CDD1 а её центр лежит в плоскости AA1D, то точкой касания является D1. По теореме о касательной и секущей 
справедливо, поскольку 
и 
а равенство 
—
как радиусы сферы.
по свойству касательных). Тогда 
В 2022 году исполняется 65 лет запуска первого искусственного спутника Земли (ИС3). В настоящее время для обеспечения бесперебойной работы сотовой связи, систем теле и радиовещания используются различные виды спутников, находящихся на различных орбитах, на различных высотах.
Зоной покрытия спутника назовем часть поверхности земного шара, в пределах которой обеспечивается уровень сигналов к спутнику и от него, необходимый для их приема с заданным качеством в конкретный момент времени. Как правило, эта часть поверхности ограничивается окружностью, проходящей по линии видимого горизонта. На рисунке — линия проходит через точку Г.
a) Определите площадь земной поверхности (в км2), которая является зоной покрытия спутника, находящегося на высоте 
км
км с центром в точке О.
б) Найдите все значения 
для которых на поверхности земли можно расположить окружности 
каждая из них является границей зоны покрытия ИС3, находящегося на той же высоте Н, что и спутник c зоной покрытия C0. Каждая из зон покрытия 
должна внешним образом касаться окружностей C0 и 
то есть первая касается C0 и C2, вторая — C0 и C3, и т. д. Окружность Cn должна касаться C0 и C1.
где 
—
здесь угол α — угол между радиусом ОГ и линией ОА, соединяющий центр сферы с центром окружности, которая является линией пересечения сферы и конуса. 
В правильной пирамиде ОЗЗ1З2 плоские углы при вершине равны 
двугранный угол при ребре О3 равен 
Современную жизнь невозможно представить без спутниковой связи и навигации. В 2021 году только тремя ведущими космическими державами произведено 126 успешных запусков спутников. По данным прикладного потребительского центра ГЛОНАСС в настоящее время в составе системы ГЛОНАСС задействовано 25 спутников, в системах GPS — 32, ГАЛИЛЕО 26, БЕЙДОУ — 49 спутников. Возникает проблема безопасности их полетов.
a) Считая Землю шаром радиуса R, определите, какое наибольшее количество спутников может одновременно находиться на орбитах вокруг Земли на одной и той же высоте H от еe поверхности так, чтобы расстояние между аппаратами было не меньше 
б) Для найденного максимального количества спутников указать координаты возможного их расположения в системе координат с началом в центре Земли и осью абсцисс, направленной вдоль вектора, соединяющего центр Земли с одним из спутников.
Обозначим O центр сферы, а ее радиус 
Спутники обозначим точками Ci, 
Надо определить максимальное значение n. 
откуда 
Покажем, что шесть спутников, удовлетворяющих такому условию, расположить на орбитах можно. Они могут располагаться на трех взаимно перпендикулярных диаметрах сферы. Предположим, что спутников может быть больше 6. Поскольку по предположению спутников больше 6, следовательно, можно выбрать 3 спутника, не лежащих в одной плоскости с точкой O, и рассмотреть систему координат с центром в точке О. Ось абсцисс направим вдоль прямой OC1, за единицу примем расстояние OC1. 
а третью ось направим в сторону, ближайшую к C3(x3, y3, z3), чтобы аппликата была положительна 
Рассмотрим скалярные произведения векторов, учитывая, что все они неположительные, получаем:
следовательно, 
значит, все 
Таким образом, у всех векторов, начиная с 
все координаты неположительные. А следовательно, все попарные скалярные произведения векторов 
будут неотрицательными. Поскольку в пространстве может быть не более 3 взаимно ортогональных векторов, хотя бы одно из этих скалярных произведений строго положительно. Получили противоречие. Следовательно, предположение о наличии более 6 спутников, удовлетворяющих требуемым условиям, неверно.