сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Три па­рал­лель­ные пря­мые ка­са­ют­ся сферы ра­ди­у­са 4 см с цен­тром в точке O в точ­ках A, B и C. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC боль­ше 16 см2, пло­щадь тре­уголь­ни­ка OBC равна 4 см2. Най­ди­те угол BAC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как ра­ди­у­сы OA, OB и OC пер­пен­ди­ку­ляр­ны за­дан­ным па­рал­лель­ным пря­мым и имеют общую точку, то все три от­рез­ка  — OA, OB и OC  — лежат в одной плос­ко­сти. Рас­смот­рим се­че­ние сферы этой плос­ко­стью. По усло­вию за­да­чи S_\triangle O B C=4, то есть

 S_\triangle O B C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на O B умно­жить на O C умно­жить на синус \angle B O C=4 \Rightarrow синус \angle B O C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Воз­мож­ные зна­че­ния \angle B O C= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби или \angle B O C= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . Рас­смот­рим воз­мож­ные ва­ри­ан­ты.

1.  Если \angle B O C= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , то \angle B A C= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби (рис. 1) или \angle B A C= дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Тогда

 S_\triangle A B C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на A B умно­жить на A C умно­жить на синус \angle B A C мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 8 умно­жить на 8 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =16,

что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

2.  Если \angle B O C= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , то \angle B A C= дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби (рис. 3) или \angle B A C= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби (рис. 4). На тре­тьем ри­сун­ке

S_\triangle A B C мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на B C умно­жить на O A мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 8 умно­жить на 4=16,

что также про­ти­во­ре­чит усло­вию. Таким об­ра­зом, един­ствен­ный ва­ри­ант, при ко­то­ром S_\triangle A B C мень­ше 16 пред­став­лен на чет­вер­том ри­сун­ке.

Рис. 3

Рис. 4

Ответ: \angle BAC= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .