Сфера касается 99 рёбер некоторой выпуклой 50-угольной пирамиды. Обязательно ли тогда она касается и
(М. Евдокимов)
Мы покажем даже, что это неверно ни в одном из двух случаев: (а) сотое ребро — ребро основания, и (б) сотое ребро — боковое.
a) Возьмём правильный 51-угольник с центром Пусть и это вписанная и описанная окружности соответственно. Рассмотрим сферу S с центром C, которая пересекает плоскость угольника по окружности и рассмотрим конус с основанием в который вписана эта сфера. Пусть
б) Построим многоугольник, сферу и конус так же, как в пункте (а). Пусть теперь прямые и пересекаются в точке B. Тогда пирамида
Ответ: нет.