сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сфера ка­са­ет­ся 99 рёбер не­ко­то­рой вы­пук­лой 50-уголь­ной пи­ра­ми­ды. Обя­за­тель­но ли тогда она ка­са­ет­ся и 100-го ребра этой пи­ра­ми­ды?

 

(М. Ев­до­ки­мов)

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Мы по­ка­жем даже, что это не­вер­но ни в одном из двух слу­ча­ев: (а) сотое ребро  — ребро ос­но­ва­ния, и (б) сотое ребро  — бо­ко­вое.

a) Возьмём пра­виль­ный 51-уголь­ник A_1 A_2 \ldots A_51 с цен­тром C . Пусть \omega и \Omega это впи­сан­ная и опи­сан­ная окруж­но­сти со­от­вет­ствен­но. Рас­смот­рим сферу S с цен­тром C, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет плос­кость 51 минус уголь­ни­ка по окруж­но­сти \omega, и рас­смот­рим конус с ос­но­ва­ни­ем \Omega, в ко­то­рый впи­са­на эта сфера. Пусть O  — вер­ши­на этого ко­ну­са. Тогда у 50-уголь­ной пи­ра­ми­ды O A_1 A_2 \ldots A_50 все бо­ко­вые рёбра и 49 рёбер ос­но­ва­ния ка­са­ют­ся сферы S, а ребро A_1 A_50  — не ка­са­ет­ся.

б) По­стро­им мно­го­уголь­ник, сферу и конус так же, как в пунк­те (а). Пусть те­перь пря­мые A_1 A_51 и A_49 A_50 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке B. Тогда пи­ра­ми­да O A_1 A_2 \ldots A_49 B  — ис­ко­мая: все её ребра, кроме бо­ко­во­го ребра OB, ка­са­ют­ся сферы S.

 

Ответ: нет.