Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, грани ABCD и CDD1C1 которого являются прямоугольниками. Сфера S касается прямых B1C1 и C1D1, плоскости CDD1, а также плоскости ABC в точке A. Эта сфера повторно пересекает отрезок AC1 в точке M. Найдите 
и объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если известно, что AM = 5, C1M = 3.
Пусть O — центр сферы S, а K — её точка касания с прямой C1B1. Плоскость A1AD перпендикулярна AB, так как 
и 
(отсюда 
Сфера S касается ABC в точке A, поэтому O лежит на перпендикуляре к плоскости ABC, проходящем через точку A. Так как плоскости A1AD и ABC перпендикулярны, точка O лежит в плоскости AA1D. Поскольку сфера S касается прямой C1D1, плоскости CDD1 а её центр лежит в плоскости AA1D, то точкой касания является D1. По теореме о касательной и секущей
Из теоремы Пифагора для треугольника AD1C1 находим
Обозначим через K′ проекцию точки K на плоскость AA1D (точки A, O, K′ лежат на одной прямой). Далее отметим, что
Равенство 
справедливо, поскольку 
и 
а равенство 
—
как радиусы сферы.
Пусть H — середина основания AD1 равнобедренного треугольника ADD1 
по свойству касательных). Тогда
Следовательно, объём параллелепипеда равен
Ответ: 80.