Три попарно касающиеся сферы касаются также плоскости треугольника со сторонами 5, 6, 7 в вершинах этого треугольника. Найдите произведение радиусов этих трёх сфер.
Пусть три шара касаются плоскости и попарно друг друга. Найдем соотношение между произведением длин сторон треугольника, образованного точками касания шаров с плоскостью, и произведением радиусов шаров.
Пусть Oa, Ob, 
Точки ABOBOA образуют прямоугольную трапецию со сторонами 
основания которой — BOB и AOA, причём BOB перпендикулярна AB и AOA перпендикулярна AB. Пусть, для определённости, 
Проведём из OA к стороне BOB высоту OAD. Точки AOADB образуют прямоугольник, и 
Тогда 
и для прямоугольного треугольника OADOB можно написать теорему Пифагора:
и, значит, 
Рассматривая другие пары шаров, аналогично получим 
и 
Поэтому 
Ответ: 26,25.