Дана пирамида ABCD, вершина A которой лежит на одной сфере с серединами всех её рёбер, кроме ребра AD. Известно, что AB = 1, BD = 2, CD = 3. Найдите длину ребра BC. Какой наименьший радиус может иметь сфера, описанная около данной пирамиды?
Пусть K, L, M, N, P — середины рёбер AB, BD, CD, AC, BC соответственно. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что KLMN и AKPN — параллелограммы. Они вписаны в окружности, являющиеся сечениями сферы плоскостями KLM и ABC, поэтому эти параллелограммы — прямоугольники. Угол BAC — прямой; прямые AD и BC перпендикулярны, так как
Отметим в плоскости ABC точку D′ такую, что треугольники BCD и BCD′ равны, а точки A и D′ лежат по разные стороны от прямой BC (треугольник BCD′ может быть получен из треугольника BCD поворотом вокруг прямой BC). Из равенства треугольников BCD и BCD′ следует, что основания их высот, опущенных на BC — это одна и та же точка (назовём её H). Плоскость DD′H перпендикулярна BC (так как ), поэтому Поскольку и то плоскость ADD′ перпендикулярна BC и
Значит, ABCD′ — четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями (пусть X — точка их пересечения). По теореме Пифагора
следовательно, откуда Из прямоугольного треугольника ABC находим
Радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD, не меньше радиуса R окружности, описанной около грани BCD. Пирамида, для которой достигается равенство, существует. Докажем это. Рассмотрим сферу радиуса R и окружность — её сечение, проходящее через центр сферы. Впишем в эту окружность треугольник BCD и через прямую BC проведём плоскость, перпендикулярную плоскости этого треугольника. B сечении сферы указанной плоскостью получится окружность с диаметром BC, в которую можно вписать прямоугольный треугольник ABC. По теореме косинусов из треугольника BCD находим, что
По теореме синусов
Ответ: