сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дана пи­ра­ми­да ABCD, вер­ши­на A ко­то­рой лежит на одной сфере с се­ре­ди­на­ми всех её рёбер, кроме ребра AD. Из­вест­но, что AB  =  1, BD  =  2, CD  =  3. Най­ди­те длину ребра BC. Какой наи­мень­ший ра­ди­ус может иметь сфера, опи­сан­ная около дан­ной пи­ра­ми­ды?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть K, L, M, N, P  — се­ре­ди­ны рёбер AB, BD, CD, AC, BC со­от­вет­ствен­но. Из тео­ре­мы о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка сле­ду­ет, что KLMN и AKPN  — па­рал­ле­ло­грам­мы. Они впи­са­ны в окруж­но­сти, яв­ля­ю­щи­е­ся се­че­ни­я­ми сферы плос­ко­стя­ми KLM и ABC, по­это­му эти па­рал­ле­ло­грам­мы  — пря­мо­уголь­ни­ки. Угол BAC  — пря­мой; пря­мые AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, так как A D\|K L,  K L \perp L M,  B C\| L M.

От­ме­тим в плос­ко­сти ABC точку D′ такую, что тре­уголь­ни­ки BCD и BCD′ равны, а точки A и D′ лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой BC (тре­уголь­ник BCD′ может быть по­лу­чен из тре­уголь­ни­ка BCD по­во­ро­том во­круг пря­мой BC). Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков BCD и BCD′ сле­ду­ет, что ос­но­ва­ния их высот, опу­щен­ных на BC  — это одна и та же точка (назовём её H). Плос­кость DDH пер­пен­ди­ку­ляр­на BC (так как D H \perp B C,  D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка H \perp B C ), по­это­му D D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка \perp B C. По­сколь­ку D D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка \perp B C и A D \perp B C, то плос­кость ADD′ пер­пен­ди­ку­ляр­на BC и A D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка \perp B C.

Зна­чит, ABCD′ — четырёхуголь­ник со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми диа­го­на­ля­ми (пусть X  — точка их пе­ре­се­че­ния). По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

A B в квад­ра­те =A X в квад­ра­те плюс B X в квад­ра­те ,  C D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =C X в квад­ра­те плюс D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X в квад­ра­те ,

B D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =B X в квад­ра­те плюс D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X в квад­ра­те ,  A C в квад­ра­те =A X в квад­ра­те плюс C X в квад­ра­те ,

сле­до­ва­тель­но, A B в квад­ра­те плюс C D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =B D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс A C в квад­ра­те , от­ку­да AC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс 3 в квад­ра­те минус 2 в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та . Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC на­хо­дим B C= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: A B в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс A C в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды ABCD, не мень­ше ра­ди­у­са R окруж­но­сти, опи­сан­ной около грани BCD. Пи­ра­ми­да, для ко­то­рой до­сти­га­ет­ся ра­вен­ство, су­ще­ству­ет. До­ка­жем это. Рас­смот­рим сферу ра­ди­у­са R и окруж­ность  — её се­че­ние, про­хо­дя­щее через центр сферы. Впи­шем в эту окруж­ность тре­уголь­ник BCD и через пря­мую BC про­ведём плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ную плос­ко­сти этого тре­уголь­ни­ка. B се­че­нии сферы ука­зан­ной плос­ко­стью по­лу­чит­ся окруж­ность с диа­мет­ром BC, в ко­то­рую можно впи­сать пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка BCD на­хо­дим, что

 ко­си­нус \angle B D C= дробь: чис­ли­тель: C D в квад­ра­те плюс B D в квад­ра­те минус B C в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на C D умно­жить на B D конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 плюс 4 минус 7, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 3 умно­жить на 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \Rightarrow \angle B D C=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

По тео­ре­ме си­ну­сов

R= дробь: чис­ли­тель: B C, зна­ме­на­тель: 2 синус \angle B D C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: BC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , R_min= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

До­ка­за­но, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный  — 1 балл;

до­ка­за­но, что се­ре­ди­ны рёбер AB, AC, BD, CD яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми пря­мо­уголь­ни­ка (или эк­ви­ва­лент­ное утвер­жде­ние  — на­при­мер, что рёбра AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны)  — 1 балл;

най­де­на длина ис­ко­мо­го ребра  — 2 балла;

най­ден наи­мень­ший ра­ди­ус  — 2 балла;

если при этом не до­ка­за­но, что ра­ди­ус яв­ля­ет­ся наи­мень­шим или что кон­струк­ция су­ще­ству­ет  — 1 балл вме­сто 2.