Три параллельные прямые касаются сферы радиуса 6 см с центром в точке Q в точках M,N и P. Площадь треугольника MNP больше 36 см2, площадь треугольника QNP равна 9 см2. Найти угол NMP.
Решение.
Так как радиусы QM, QN и QP перпендикулярны заданным параллельным прямым и имеют общую точку, то все три отрезка — QM, QN и QP — лежат в одной плоскости. Рассмотрим сечение сферы этой плоскостью (рис. 1). По условию задачи то есть
Возможные значения или Рассмотрим возможные варианты.
1. Если то (рис. 1) или (рис. 2), тогда
что противоречит условию.
Рис. 1.
Рис. 2.
2. Если то (рис. 3) или (рис. 4). Из третьего рисунка найдем:
что также противоречит условию.
Таким образом, единственный вариант, при котором представлен на рис. 4.
то есть
или 
Рассмотрим возможные варианты. 
то 
(рис. 1) или 
(рис. 2), тогда 
то 
(рис. 3) или 
(рис. 4). Из третьего рисунка найдем:
представлен на рис. 4.