Все рёбра правильной n-угольной усеченной пирамиды, описанной около сферы σ, касаются сферы ω с центром в центре нижнего основания этой пирамиды. Докажите, что n = 3 и найдите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания.
Пусть точки O и O1 — центры нижнего и верхнего оснований соответственно, AA1B1B — одна из боковых граней 
M и M1 — середины ребер AB и A1B1 этой пирамиды. Тогда 
(как отрезки двух касательных к сфере σ) и 
(как отрезки двух касательных к сфере ω).
При этом
откуда
(«< 1» и поскольку апофема короче бокового ребра). Следовательно, 
то есть 
Искомый угол — это 
Из равенства прямоугольных треугольников OAM и OAP (где 
и 
имеем:
Ответ: 