Две правильные треугольные пирамиды имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. В пирамиды вписаны шары радиуса r. Третий шар радиуса R касается внешним образом обеих пирамид и вписанных в них шаров. Найдите плоский угол при вершине пирамид, если R : r = 2 : 1.
Пусть SABC — первая пирамида, BSC — ее общая боковая грань со второй, O1 и O2 — центры шаров, вписанных в пирамиды, O — центр внешнего шара. Ввиду равенства пирамид вписанные в них шары касаются грани BSC в одной точке K. Так как отрезок O1K перпендикулярен плоскости BSC и отрезок O2K перпендикулярен плоскости BSC, точка K лежит на отрезке O1O2, причем
Пусть M — точка касания с гранью ASB шара, вписанного в первую пирамиду. В этой же точке касается ASB и внешний шар. Поэтому точка M лежит на отрезке OO1, причем 
Аналогично получается, что 
Выберем точку N на отрезке OK так, что отрезок NM перпендикулярен OO1, и положим 
(см. верхний рисунок). Тогда
По условию 
откуда 
Покажем, что 
—
Пусть 
и 
Опустим из точек A и C перпендикуляры на ребро BS. Они придут в одну точку L, так как треугольники ASB и BSC равны. По доказанному 
Заметим, что
Тогда по теореме косинусов для треугольника ALC:
Ответ: 