Всего: 413 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
В каждой из четырёх волейбольных команд по шесть игроков, среди которыхобязательно есть капитан и разыгрывающий, причём это разные люди. Сколькими способами из этих четырёх команд можно составить сборную из шести игроков, среди которых должны быть хотя бы по одному игроку каждой команды и обязательно пара капитан — разыгрывающий хотя бы из одной команды?
способами, в итоге получаем 
возможностей для данного случая.
способами, выбрать из них по паре игроков можно 
способами. Приэтом нужно исключить 
выборов, когда ни в одной из двух команд не будут выбраны одновременно капитан и разыгрывающий, итого получим 
способов. Осталось 
способов выбрать ещё по одному игроку из двух оставшихся команд, всего получаем 
способов в этом случае. Итого 6264 + 3456 = 9720 — ответ задачи.
при любых не совпадающих одновременно значениях a, b, c имеет два различных корня.
Дискриминант уравнения равен: 
Последнее выражение несложно преобразуется к виду: 
Полученная сумма всегда неотрицательна и равна нулю тогда и только тогда, когда 
и что одно из двух неравенств строгое. Обозначим выражение в левой части за f(x). Если 
то 
и непрерывная функция f(x) имеет по одному корню на интервалах (a, b) и (b, c).Если 
то 
один корень f(x) совпадает с a. При этом 
и второй корень равен 
что совпадает с a тогда и толькотогда, когда a = с и значения всех трёх переменных совпадают, что противоречит условию. Аналогично разбирается случай 
или 
.В треугольнике АВС взята точка Р такая, что сумма углов РВА и РСА равна сумме углов РВС и РСВ. Докажите, что расстояние от вершины А до точки Р не меньше расстояния от А до точки I — центра вписанной в АВС окружности, и если эти расстояния равны, то Р совпадает с I.
таких, что
тогда для произвольного 
выполняется неравенство 
Следовательно, 
Пример девяти чисел, удовлетворяющих условию: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11.
.
—
Свойства арифметической прогрессии и условия задачи приводят к уравнению 
или 
Убывающей геометрическая прогрессия может быть только при 
(если, например, 
—
Второе неравенство равносильно 
и 
получаем, что системе удовлетворяет заштрихованная область. Учитывая, что отмеченные цифрой 1 области одинаковы, а также одинаковы области, отмеченные цифрой 2, получаем, что искомая площадь равна площади полукруга радиуса 
то есть равна 
а все боковые ребра SA, SB, SC образуют с плоскостью основания одинаковые углы, не превышающие 60°?
тогда высота пирамиды равна 
где R — радиус описанной вокруг треугольника окружности. При заданных условиях возможны два треугольника — остроугольный и тупоугольный, площади которых совпадают (они равны 
но радиус описанной окружности будет больше у тупоугольного треугольника. Тогда 
а все боковые ребра SA, SB, SC образуют с плоскостью основания одинаковые углы, не превышающие 60°?
На 19 карточках написаны числа 15, 16,17, ..., 33 соответственно (по одному числу на карточке). Участники математического кружка Вася, Петя и Миша собрались разделить между собой все карточки так, чтобы каждому досталась хотя бы одна карточка и ни у кого не нашлось пары карточек, разность которых нечетна. Сколько существует способов такого дележа?
способами. Но при этом будет 2 способа, когда кто-то из этих двух ребят останется без табличек. Значит, получается 
способов. 
На 17 карточках написаны числа 10, 11, 12, ..., 26 соответственно (по одному числу на карточке). Участники математического кружка Вася, Петя и Миша собрались разделить между собой все карточки так, чтобы каждому досталась хотя бы одна карточка и ни у кого не нашлось пары карточек, разность которых нечетна. Сколько существует способов такого дележа?
Числа p и q подобраны так, что парабола y = px − x2 пересекает гиперболу xy = q в трех различных точках A, B и C, причем сумма квадратов сторон треугольника ABC равна 324, а точка пересечения его медиан находится на расстоянии 2 от начала координат. Найдите произведение pq.
сводится к кубическому уравнению 
имеющему, по условию задачи, три различных корня x1, x2, x3, так как у любых двух разных точек кривой 
абсциссы различны. По теореме Виета, 
Заметим, что если хотя бы одно из чисел x1, x2 или x3 равно 0, то 
и у кубического уравнения будет лишь два корня, что противоречит условию задачи. Тогда, в силу системы, 
Теперь вычислим сумму квадратов длин сторон треугольника ABC. Она равна 
откуда находим две пары: 
или 
В обоих случаях 
Числа p и q подобраны так, что парабола y = qx − x2 пересекает гиперболу xy = p в трех различных точках A, B и C, причем сумма квадратов сторон треугольника ABC равна 378, а точка пересечения его медиан находится на расстоянии 3 от начала координат. Найдите произведение pq.
Стало быть, в решения 
данной в условии системы могут входить только числа 
и, поэтому возможны только случаи 
(пря мой проверкой убеждаемся, что она удовлетворяет системе из условия задачи), у которой x в III четверти, а z в I четверти, получаем минимальное из возможных значений 
равное 
