Докажите, что уравнение 
при любых не совпадающих одновременно значениях a, b, c имеет два различных корня.
Первый способ. Раскроем в левой части скобки и приведём подобные: 
Дискриминант уравнения равен: 
Последнее выражение несложно преобразуется к виду: 
Полученная сумма всегда неотрицательна и равна нулю тогда и только тогда, когда 
Второй способ. Без ограничения общности можно считать, что 
и что одно из двух неравенств строгое. Обозначим выражение в левой части за f(x). Если 
то 
и непрерывная функция f(x) имеет по одному корню на интервалах (a, b) и (b, c).Если 
то 
один корень f(x) совпадает с a. При этом 
и второй корень равен 
что совпадает с a тогда и толькотогда, когда a = с и значения всех трёх переменных совпадают, что противоречит условию. Аналогично разбирается случай 
или 
.