сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Для всех троек (x, y, z), удо­вле­тво­ря­ю­щих си­сте­ме

си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 синус x= тан­генс y, 2 ко­си­нус y=\ctg z, синус z= тан­генс x. конец си­сте­мы .

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния ко­си­нус x минус синус z.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Воз­во­дя в квад­рат пер­вое урав­не­ние и до­бав­ляя к обеим ча­стям 1, с уче­том вто­ро­го урав­не­ния имеем

4 синус в квад­ра­те x плюс 1= тан­генс в квад­ра­те y плюс 1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те y конец дроби =4 тан­генс в квад­ра­те z .

Про­де­лы­вая ту же про­це­ду­ру с тре­тьим урав­не­ни­ем, на­хо­дим

синус в квад­ра­те z плюс 1= тан­генс в квад­ра­те x плюс 1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби рав­но­силь­но 4 ко­си­нус в квад­ра­те x= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те z плюс 1 конец дроби .

Скла­ды­вая по­лу­чен­ные со­от­но­ше­ния, по­лу­ча­ем

5=4 тан­генс в квад­ра­те z плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те z плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 синус в квад­ра­те z, зна­ме­на­тель: 1 минус синус в квад­ра­те z конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те z плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 плюс 4 синус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка z, зна­ме­на­тель: 1 минус синус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка z конец дроби рав­но­силь­но 9 синус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка z=1 рав­но­силь­но синус в квад­ра­те z= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Под­став­ляя эту ве­ли­чи­ну в преды­ду­щие фор­му­лы, вы­чис­ля­ем ко­си­нус в квад­ра­те x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , тан­генс в квад­ра­те y=1 . Стало быть, в ре­ше­ния левая круг­лая скоб­ка x, y, z пра­вая круг­лая скоб­ка дан­ной в усло­вии си­сте­мы могут вхо­дить толь­ко числа

x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k, \quad y=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи l, \quad z=\pm арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс Пи m,

где k, l, m при­над­ле­жит Z , и, по­это­му воз­мож­ны толь­ко слу­чаи

ко­си­нус x=\pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби

и
синус z=\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Те­перь про­ана­ли­зи­ру­ем си­сте­му по зна­кам левых и пра­вых ча­стей:

а)  если x лежит в I чет­вер­ти, то либо y лежит в I чет­вер­ти, z лежит в I чет­вер­ти, либо y лежит в III чет­вер­ти, z лежит во II чет­вер­ти;

б)  если x лежит во II чет­вер­ти, то либо y лежит в I чет­вер­ти, z лежит в III чет­вер­ти, либо y лежит в III чет­вер­ти, z лежит в IV чет­вер­ти;

в)  если x лежит в III чет верти, то либо y лежит во II чет верти, z лежит во II чет­вер­ти, либо y лежит в IV чет­вер­ти, z лежит в I чет верти;

г)  если x лежит в IV чет­вер­ти, то либо y лежит во II чет­вер­ти, z лежит в IV чет­вер­ти, либо y лежит в IV чет­вер­ти, z лежит в III чет­вер­ти.

Взяв трой­ку x= дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , y= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , z= арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби (пря мой про­вер­кой убеж­да­ем­ся, что она удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме из усло­вия за­да­чи), у ко­то­рой x в III чет­вер­ти, а z в I чет­вер­ти, по­лу­ча­ем ми­ни­маль­ное из воз­мож­ных зна­че­ний ко­си­нус x минус синус z, рав­ное

минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 5 , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Ответ: минус дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби \approx минус 1,44.


Аналоги к заданию № 1722: 1723 Все

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024