Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Натуральные числа a, b, c, d, и e являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите наименьшее возможное значение числа c, если сумма b + c + d является полным квадратом, а сумма a + b + c + d + e является полным кубом.
В конференции принял участие 281 сотрудник из 7 различных филиалов фирмы. В каждой группе из шести участников конференции по меньшей мере двое были одного возраста. Докажите, что среди всех участников можно найти пятерых одного возраста, одного пола и из одного филиала фирмы.
Десять пиратов делят между собой золотые и серебряные монеты. Серебряных монет в два раза больше, чем золотых. Они разделили золотые монеты так, что разница между количеством золотых монет у любых двух пиратов не делится на 10. Докажите, что они не смогут разделить серебряные монеты подобным образом.
а именно: 1, 10, 100, 
Докажите, что существуют целые числа 
≡
не все равные нулю, такие, что число 
делится нацело на 2047.
рассмотрим сумму вида 
Таких наборов (а значит, и сумм) 
штук. Поэтому по крайней мере две суммы, 
и 
дают одинаковые остатки от деления на 2047. Следовательно, их разность делится на 2047: 
Искомые целые числа найдены: 
Утверждение доказано.
а именно: 
Среди этих чисел выберем n чисел, имеющих одинаковые остатки от деления на n (это можно сделать, поскольку чисел вида 
бесконечно много, а остатков от деления на n ровно n). В качестве искомого N возьмем сумму этих n чисел. Утверждение доказано.Через вершины треугольника ABC проведены три параллельные прямые a, b, c соответственно, не параллельные сторонам треугольника. Пусть A0, B0, C0 — середины сторон BC, CA, AB. Пусть A1, B1, C1 — точки пересечения пар прямых a и B0C0, b и C0A0, c и A0B0 соответственно. Докажите, что прямые A0A1, B0B1 и C0C1 пересекаются в одной точке.
Обозначим 
где знак плюс берётся, если r и s расположены в одной паре вертикальных углов относительно p и q, а знак минус — иначе.
равно двойному отношению прямых (a, p; c', b'). Аналогично 
и 
равны двойным отношениям (b, q; a', c') и (c, r; b', a'). Но из параллельности
Известно, что при перестановке прямых c' и b' двойное отношение x заменяется на 
а при перестановке прямых a' и b' — на 1 − x. Значит, 
и 
Получаем 
Вовочка хочет передать Наташе на уроке записку в подписанном конверте, при этом конверт в известном порядке сначала проходит через весь остальной класс. Каждый ученик, кроме Наташи, может недолюбливать одного одноклассника, и, если передает конверт, подписанный собой, меняет на этого кого-то, если подписанный этим кем-то — на себя, иначе просто передаёт дальше по цепочке. Сколько учеников в классе могут кого-то недолюбливать, если Вовочка может так заранее подписать записку, чтобы Наташе конверт дошёл с любым именем, с каким он хочет? (Все имена в классе различны).
Дано несколько вещественных чисел, по модулю не превосходящих 1. Сумма всех чисел равна S. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, чтобы при некотором натуральном n < 100 сумма выбранных чисел отличалась от 
не более чем на 
. Это гипотетический критерий, ни одной работы, удовлетворяющей ему, не обнаружено.В правильном тетраэдре с ребром, равным 8, отмечены 25 различных точек: 4 вершины и 21 произвольная точка внутри тетраэдра. Никакие 4 отмеченные точки не лежат в одной плоскости. Докажите, что найдется тетраэдр с вершинами в отмеченных точках, объем которого меньше единицы.
поскольку этот тетраэдр получается если взять не соединенные ребром вершины куба с ребром 
Заметим, что 
< 64, значит, если удастся тетраэдр разрезать на 64 тетраэдра с вершинами в отмеченных точках, то один из тетраэдров разбиения будет иметь объем меньше 1.В таблице 9 × 9 расставлены различные натуральные числа, сумма которых равна 2S. Известно, что в каждой строке числа возрастают слева направо, а в каждом столбце — снизу вверх. Может ли сумма чисел в центральном квадрате 5 × 5 быть больше S?
). Тогда числа с номерами 8k + 1, . . . , 8k + 8 будут иметь следующие остатки: a, a, 2a, 3a, 5a, a, 6a, 0.Дано несколько вещественных чисел, по модулю не превосходящих 1. Сумма всех чисел равна S. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, чтобы при некотором натуральном n < 100 сумма выбранных чисел отличалась от не более чем на
На продолжении диаметра АВ полукруга за точку В взята произвольная точка С, через которую проведена касательная к этому полукругу, касающаяся его в точке Е. Пусть биссектриса угла ВСЕ пересекает хорды АЕ и ВЕ полукруга в точках К и М соответственно. Докажите, что треугольник КЕМ равнобедренный.
В системе из трёх линейных уравнений 
от трёх переменных x, y, z коэффициенты А, Е, I — положительны, а остальные отрицательны, и каждый из А, Е, I больше модуля суммы двух оставшихся коэффициентов того же уравнения. Докажите, что система имеет единственное решение 
то 
то 
— противоречие. Остальные два случая рассматриваются аналогично.
Пусть они пересекаются в точке 
Заметим, что треугольники BCD и CDE равнобедренные с углом 
при вершине, а значит, углы при основании равны 
(они отмечены на рисунке одной дугой). Тогда 
Угол COD равен 108° (так как в треугольнике COD два угла по 36°). Поэтому 
Углы по 72° отмечены на рисунке двумя дугами. Получаем, что треугольники CBO и DEO равнобедренные. Значит, 
Значит, треугольник OBA равнобедренный с углом 60° при вершине, т. е. равносторонний. Поэтому 
Вычислим угол AOE
Получаем, что угол E пятиугольника равен 
известно следующее: 
делится на 
делится на 
делится на 
Докажите, что 
делится на 
Тогда из 2-го условия следует, что b делится на p, а из 3-го — что c делится на p. Следовательно, 
Пусть 
— наибольшие натуральные числа такие, что a делится на 
b на 
c на 
Значит, в каноническое разложение произведения abc простое число p входит в степени 
Но, очевидно, 
Поэтому 
и, следовательно, число 
получим требуемое утверждение.
и 
Докажите, что сумма длин дуг 
больше суммы длин дуг 
В задаче по сути требуется доказать, что сумма длин дуг 
меньше длины половины окружности, то есть их суммарная угловая мера меньше 180°, что эквивалентно тому, что угол AOD острый. Для обоснования последнего построим (как на диаметрах) окружности на боковых сторонах трапеции (рис.). Углы AOD и BOC, под которыми из точки O видны боковые стороны, равны между собой. Значит, возможен один из трех случаев: 1) точка O находится внутри каждой из окружностей, если углы AOD и BOC тупые, 2) точка O лежит на каждой из окружностей, если углы прямые, 3) точка O лежит вне окружностей, если углы острые. Но, поскольку наша трапеция описанная, сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований, а значит сумма радиусов этих окружностей равна полусумме оснований, то есть средней линии. Потому окружности имеют единственную общую точку, лежащую как раз на средней линии и потому отличную от O (так как длины оснований трапеции различны). Таким образом, реализуется третий случай: углы AOD и BOC острые, и, следовательно, сумма длин дуг