При­ведём три­го­но­мет­ри­че­ское ре­ше­ние. До­ста­точ­но до­ка­зать, что

Тогда по тео­ре­ме Чевы пря­мые A₀A₁, B₀B₁, C₀C₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

Пусть без огра­ни­че­ния общ­но­сти пря­мая a пе­ре­се­ка­ет внут­рен­ность тре­уголь­ни­ка ABC. Обо­зна­чим углы тре­уголь­ни­ка через α, β, γ, а угол B₀AA₁ через φ. Тогда углы AC₀A₁ и AB₀A₁ равны β и γ со­от­вет­ствен­но.

При­ме­няя тео­ре­му си­ну­сов к тре­уголь­ни­кам AB₀A₁ и AC₀A₁, по­лу­ча­ем

Ана­ло­гич­но, поль­зу­ясь ра­вен­ством вер­ти­каль­ных углов, по­лу­ча­ем

Ана­ло­гич­но

По­сколь­ку α + β − φ = π − (γ + φ), при пе­ре­мно­же­нии трёх вы­пи­сан­ных ра­венств все члены со­кра­тят­ся и мы по­лу­чим 1.

Те­перь пе­ре­пи­шем то же ре­ше­ние в тер­ми­нах про­ек­тив­ной гео­мет­рии. Про­стым от­но­ше­ни­ем трёх точек P, Q, R на одной пря­мой на­зо­вем такое число x, что Обо­зна­чим

До­ста­точ­но до­ка­зать, что

Тогда по тео­ре­ме Чевы пря­мые A₀A₁, B₀B₁ и C₀C₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

Двой­ным от­но­ше­ни­ем пря­мых p, q, r, s на­зо­вем число где знак плюс берётся, если r и s рас­по­ло­же­ны в одной паре вер­ти­каль­ных углов от­но­си­тель­но p и q, а знак минус  — иначе.

Про­ведём через вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка A, B, C пря­мые p, q, r, па­рал­лель­ные про­ти­во­по­лож­ным сто­ро­нам a', b', c' тре­уголь­ни­ка ABC. Тогда, как из­вест­но, равно двой­но­му от­но­ше­нию пря­мых (a, p; c', b'). Ана­ло­гич­но и равны двой­ным от­но­ше­ни­ям (b, q; a', c') и (c, r; b', a'). Но из па­рал­лель­но­сти

Остаётся до­ка­зать, что

Здесь участ­ву­ют двой­ные от­но­ше­ния одной и той же четвёрки пря­мых, но взя­тых в раз­ных по­ряд­ках. Обо­зна­чим Из­вест­но, что при пе­ре­ста­нов­ке пря­мых c' и b' двой­ное от­но­ше­ние x за­ме­ня­ет­ся на а при пе­ре­ста­нов­ке пря­мых a' и b'  — на 1 − x. Зна­чит, и По­лу­ча­ем

что и тре­бо­ва­лось.