Пусть O – точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей. Из­вест­но, что ве­ли­чи­на угла AOD равна по­лу­сум­ме уг­ло­вых мер дуг CB и В за­да­че по сути тре­бу­ет­ся до­ка­зать, что сумма длин дуг мень­ше длины по­ло­ви­ны окруж­но­сти, то есть их сум­мар­ная уг­ло­вая мера мень­ше 180°, что эк­ви­ва­лент­но тому, что угол AOD ост­рый. Для обос­но­ва­ния по­след­не­го по­стро­им (как на диа­мет­рах) окруж­но­сти на бо­ко­вых сто­ро­нах тра­пе­ции (рис.). Углы AOD и BOC, под ко­то­ры­ми из точки O видны бо­ко­вые сто­ро­ны, равны между собой. Зна­чит, воз­мо­жен один из трех слу­ча­ев: 1) точка O на­хо­дит­ся внут­ри каж­дой из окруж­но­стей, если углы AOD и BOC тупые, 2) точка O лежит на каж­дой из окруж­но­стей, если углы пря­мые, 3) точка O лежит вне окруж­но­стей, если углы ост­рые. Но, по­сколь­ку наша тра­пе­ция опи­сан­ная, сумма длин бо­ко­вых сто­рон равна сумме длин ос­но­ва­ний, а зна­чит сумма ра­ди­у­сов этих окруж­но­стей равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний, то есть сред­ней линии. По­то­му окруж­но­сти имеют един­ствен­ную общую точку, ле­жа­щую как раз на сред­ней линии и по­то­му от­лич­ную от O (так как длины ос­но­ва­ний тра­пе­ции раз­лич­ны). Таким об­ра­зом, ре­а­ли­зу­ет­ся тре­тий слу­чай: углы AOD и BOC ост­рые, и, сле­до­ва­тель­но, сумма длин дуг боль­ше суммы длин дуг Утвер­жде­ние до­ка­за­но.