Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Докажите, что для любого натурального числа n существует натуральное число N, делящееся нацело на n, сумма цифр которого равна n.
Решение.
Рассмотрим числа вида 
а именно: 
Среди этих чисел выберем n чисел, имеющих одинаковые остатки от деления на n (это можно сделать, поскольку чисел вида 
бесконечно много, а остатков от деления на n ровно n). В качестве искомого N возьмем сумму этих n чисел. Утверждение доказано.