Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
площади четырёхугольника XYZT. Покажем, что площадь последнего четырёхугольника равна половине площади ABCD. Заметим, что отрезок XY является средней линией треугольника АВС, поэтому площадь треугольника XBY равна четверти площади треугольника ABC. Аналогично, площадь треугольника ZDT равна четверти площади треугольника CDA, а сумма площадей XBY и ZDT равна четверти площади ABCD. Так же доказывается, что и сумма площадей YCZ и TAX равна четверти площади ABCD. Наконец, площадь XYZT равна разности площадей ABCD и треугольников XBY, ZDT, YCZ и TAX, то есть половине площади ABCD. Окончательно, площадь четырёхугольника равна 
площади четырёхугольника ABCD.
Алфавит состоит из n букв. Слово, составленное из этих букв, называется разрешённым, если все стоящие в нём рядом буквы различны и из него нельзя вычёркиванием букв получить слово вида abab, где буквы a и b различны. Какую максимальную длину может иметь разрешённое слово?
— очевидно. В произвольном слове w от n + 1 буквы рассмотрим первую слева букву, назовём её a, если она больше не встречается в w, оставшаяся часть w является словом от n букв и по предположению индукции имеет длину не больше 
Общая длина w при этом не превосходит 
Добавляем сюда k вхождений a, получим, что длина w не превосходит 
— шаг индукции доказан.
От домика Тофслы и Вифслы отходят 6 прямых дорог, разделяющих окрестное круглое поле на 6 равных секторов. Тофсла и Вифсла отправляются в путешествие из своего домика в центре поля со скоростью 5 км/ч случайно независимо друг от друга выбрав себе дорогу, по которой идти. С какой вероятностью расстояние между ними через час составит более 7 км?
км и 10 км соответственно для выбора одной дороги, двух соседних, двух, расходящихся под углом 120° и противоположных. Превышают 7 расстояния 10 и 
Расстояние 10 получается в 6 случаях, расстояние 
Фонари располагаются на плоскость, освещая все точки угла южнее и западнее себя. (То есть фонарь в точке с координатами (a, b) освещает точки (x, y) с координатами 
) На плоскость уже выставили 2018 синих фонарей, поместив их в различные точки. Можно ли дорасставить на плоскости 2017 красных фонарей, так что любая точка плоскости, освещённая ровно k > 0 синими фонарями, будет освещена ровно k − 1 красным фонарём? (Красные фонари можно располагать в точки, занятые другими фонарями, предполагая, что это не мешает освещению).
Треугольник ABC, в котором AB > AC, вписан в окружность с центром в точке O. В нём проведены высоты AA' и BB', и BB' повторно пересекает описанную окружность в точке N. Пусть M — середина отрезка AB. Докажите, что если ∠OBN = ∠NBC, то прямые AA', ON и MB' пересекаются в одной точке.
В таинственном лесу два мудреца в чёрном и белом колпаках раздают гномикам грибочки. К ним в две очереди выстроились 2n гномиков, n в чёрных и n в белых колпаках. Если к мудрецу подходит гномик с таким же цветом колпака, то гномик получает грибочек и удаляется, а иначе отправляется в конец очереди к другому мудрецу. За какое наименьшее количество направлений в другую очередь мудрецы могут раздать всем гномикам по грибочку, если в процессе раздачи мудрецы могут один раз поменяться колпаками? (Мудрецы сами решают, в какой момент и к кому из них подойдёт следующий гномик из соответствующей очереди. Очереди могут быть разной длины. Все грибочки совершенно одинаковы.)
Из натурального числа n разрешается получить либо число n2 + 2n, либо число n3 + 3n2 + 3n. Два натуральных числа называются совместимыми, если из них можно получить одно и то же число с помощью некоторого количества таких операций. Найдите все числа, совместимые с числом 2018.
Таким образом, все натуральные числа, эквивалентные заданному k, имеют вид 
для рациональных q1, q2. Соответственно, для n = 2018 все совместимые с ним числа будут иметь вид 
Число 2019 = 3 · 673 не является степенью натурального числа выше первой. Таким образом, рациональные числа q1 и q2 должны быть целыми, для любых целых q1 и q2 мы получаем совместимые с 2018.
для неотрицательных целых k и n.В пространстве даны 5 точек, таких что в проекциях на координатные плоскости никакие три точки не лежат на одной прямой. Могло ли оказаться так, что каждая точка ровно в одной из этих проекций лежит внутри выпуклой оболочки остальных? (Мы говорим, что точка лежит внутри выпуклой оболочки других точек, если она лежит внутри треугольника с вершинами в некоторых трёх из этих точек.)
и 
быть рациональными?
откуда 
В силу рациональности a и b последнее неравенство возможно только при 
откуда 
однако при этом 
что невозможно.
тогда 
откуда 
что явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.
тогда 
откуда 
что тоже явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.
Домножим первое уравнение на 
Получим 
Домножим второе уравнение на 
получим: 
Поделим второе уравнение на первое, получим 
откуда 
С учётом первого уравнения, 
Заменяя 
получаем биквадратное уравнение 
откуда 
а величина угла ВРС равна 
величина ОСВ, как угла при основании равнобедренного треугольника ОСВ с углом 
при вершине О, равна 
Считаем их разность: 
Сложив все неравенства и поделив пополам, получим: 
то есть, что сумма длин любой пары противоположных рёбер меньше суммы двух других аналогичных сумм. Из неравенства треугольника следует существование искомого в условии треугольника.
оставшихся, либо делиться на неё при любом k от 1 до 
— все числа от 1 до n, записанные в требуемом в условии порядке. Обозначим их сумму за S, и рассмотрим максимальное k такое, что 
не превосходит 
Тогда числа Ak и 
являются собственными делителями числа S, меньшими 
значит, оба они не больше 
Следовательно, 
откуда 
и 
Тогда числа 
и 
являются различными собственными делителями числа S, меньшими 
можно считать, 
Тогда 
откуда 
и 
Более того, при 
случай б) невозможен из-за нечётности S. При 
число S не делится на 3, поэтому один из делителей 
и 
не превосходит 
что позволяет улучшить оценку: 
откуда 
и 
.
.
Докажите, что существуют целые числа 
≡
не все равные нулю, такие, что число 
делится нацело на 2047.
рассмотрим сумму вида 
Таких наборов (а значит, и сумм) 
штук. Поэтому по крайней мере две суммы, 
и 
дают одинаковые остатки от деления на 2047. Следовательно, их разность делится на 2047: 
Искомые целые числа найдены: 
Утверждение доказано.
имеет (с учетом кратности) четыре положительных корня. Найдите a и b.
— корни нашего уравнения (возможно, среди них есть одинаковые). Следовательно, многочлен в левой части уравнения раскладывается на множители:
и
а именно: 
Среди этих чисел выберем n чисел, имеющих одинаковые остатки от деления на n (это можно сделать, поскольку чисел вида 
бесконечно много, а остатков от деления на n ровно n). В качестве искомого N возьмем сумму этих n чисел. Утверждение доказано.
Возьмем любую пару значений λ, при которой дискриминант принимает одно и то же положительное значение, например при λ = 10 и λ = −12 имеем t ∈ {0, 9} и t ∈ {−11, −2} — пересечений нет. Итак, ответ x = 1. Мистер A час простоял в точке с координатами (0, 0). За этот же час, двигаясь равномерно и прямолинейно, мистер B дошел от точки (22, 0) до точки (2, 20). За этот же час мадемуазель C, тоже двигавшаяся равномерно и прямолинейно, прошла от точки (30, 4) до точки (0, 24). Сколько раз за указанный период наблюдения принимала целые значения площадь треугольника ABC? Начальный и конечный момент включаются.
и 
равна 
Если точка 
движется равномерно и прямолинейно, то ее координаты зависят от времени t как 
Тогда величина 
как функция от t является многочленом второй степени. Выберем ось времени так, чтобы ноль был в середине отрезка наблюдения, а начальный и конечный моменты имели координаты −1 и 1 соответственно. Обозначим 
Координаты точек B и C в середине отрезка наблюдения легко считаются, это (12, 10) и (15, 14) соответственно. Итак, 
попал на отрезок наблюдения, кроме того он положителен, то есть модуль равен выражению под модулем. Итого, искомая площадь сначала уменьшалась от 44 до 8, потом росла от 8 до 24, таким образом принимая целые значения 
раза.Из n правильных шестиугольников со стороной 1 сделали многоугольник на плоскости, склеивая шестиугольники по сторонам. Любые два шестиугольника либо имеют ровно одну общую сторону, либо вообще не имеют общих точек. Внутри многоугольника нет дыр. При этом у каждого шестиугольника хотя бы одна сторона лежит на границе многоугольника. Какой наименьший периметр может иметь многоугольник при данных условиях?
Через вершины треугольника ABC проведены три параллельные прямые a, b, c соответственно, не параллельные сторонам треугольника. Пусть A0, B0, C0 — середины сторон BC, CA, AB. Пусть A1, B1, C1 — точки пересечения пар прямых a и B0C0, b и C0A0, c и A0B0 соответственно. Докажите, что прямые A0A1, B0B1 и C0C1 пересекаются в одной точке.
Обозначим 
где знак плюс берётся, если r и s расположены в одной паре вертикальных углов относительно p и q, а знак минус — иначе.
равно двойному отношению прямых (a, p; c', b'). Аналогично 
и 
равны двойным отношениям (b, q; a', c') и (c, r; b', a'). Но из параллельности
Известно, что при перестановке прямых c' и b' двойное отношение x заменяется на 
а при перестановке прямых a' и b' — на 1 − x. Значит, 
и 
Получаем 