Про вещественные числа a, b и c известно, что abc + a + b + c = 10, ab + bc + ac = 9. Для каких чисел x можно утверждать, что хотя бы одно из чисел a, b, c равно x? (Найдите все такие числа x и докажите, что других нет.)
Первое Решение. Обозначим a + b + c = λ. Теорема Виета позволяет написать кубическое уравнение, зависящее от параметра λ, корнями которого является набор a, b, c, соответствующий данному λ:
Отсюда видно, при любом λ есть корень t = 1, то есть значение x = 1 подходит. Осталось доказать, что нет других значений, являющихся корнями при любом λ (хотя это и так очевидно). В самом деле, t2 − (λ − 1)t + (10 − λ) = 0 означает 
Возьмем любую пару значений λ, при которой дискриминант принимает одно и то же положительное значение, например при λ = 10 и λ = −12 имеем t ∈ {0, 9} и t ∈ {−11, −2} — пересечений нет. Итак, ответ x = 1.
Второе решение. Вычтем из первого равенства второе, преобразовав, получим (a − 1)(b − 1)(c − 1) = 0. Отсюда следует, что одно из a, b, c равно единице. Другие x не подходят, так как тройки (a, b, c) = (4, 1, 1) и (a, b, c) = (0, 9, 1) удовлетворяют условию.
Ответ: 1.