РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 235 Добавить в вариант

Известно, что уравнение $x в степени 4 минус 8x в кубе плюс ax в квадрате плюс bx плюс 16=0$ имеет (с учетом кратности) четыре положительных корня. Найдите a и b.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $x_1, x_2, x_3, x_4$   — корни нашего уравнения (возможно, среди них есть одинаковые). Следовательно, многочлен в левой части уравнения раскладывается на множители:

$x в степени 4 минус 8x в кубе плюс ax в квадрате плюс bx плюс 16= левая круглая скобка x минус x_1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_4 правая круглая скобка .$

Раскрывая в правой части скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим:

$x_1 плюс x_2 плюс x_3 плюс x_4=8,$ $x_1x_2x_3x_4=16.$

Известно, что среднее геометрическое неотрицательных чисел не превосходит их среднего арифметического (неравенство Коши), но в нашем случае они равны:

$дробь: числитель: x_1 плюс x_1 плюс x_1 плюс x_1, знаменатель: 4 конец дроби = корень 4 степени из: начало аргумента: x_1x_2x_3x_4 конец аргумента =2.$

Следовательно, $x_1=x_2=x_3=x_4=2,$ и

$x в степени 4 минус 8x в кубе плюс ax в квадрате плюс bx плюс 16= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 .$

Отсюда $a=24,b= минус 32.$

Ответ: $a=24,b= минус 32.$

Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Уравнения высших порядков, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Помощь