Расстояние от точки пересечения диаметра окружности радиуса 11 см с хордой длиной 18 см до центра окружности равно 7 см. В каком отношении точка пересечения делит хорду?
Решение.
Построим и Необходимо найти
Заметим, что откуда и Значит,
следовательно,
то есть
Тогда
Ответ: 2 : 1, 1 : 2.
Критерии проверки:
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Флористу привезли от 300 до 400 роз для оформления праздника. Когда он расставил их в вазы по 21 розе в каждую, осталось 13 роз. А при расстановке по 15 роз в каждую вазу, восьми роз не хватило. Сколько всего было роз?
Решение.
Пусть было а роз. Тогда, с одной стороны, откуда C другой стороны, то есть Следовательно, а потому Условию удовлетворяют значения 315. Значит, было 307 роз.
Ответ: 307.
Критерии проверки:
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Две вершины квадрата площадью 256 см2 лежат на окружности, а две другие вершины — на касательной к этой окружности. Найти радиус окружности.
Решение.
Из условия следует, что тогда и
В треугольнике FCO: следовательно,
отсюда
Ответ:
Критерии проверки:
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Кощей пересчитывает золотые монеты. Когда он считает десятками, то в остатке получается 7 монет, а до целого числа дюжин не хватает 3 монет. Состояние Кощея оценивается в 300 – 400 монет. Сколько монет у Кощея?
Решение.
Пусть было а монет. Тогда, с одной стороны, откуда C другой стороны, то есть Следовательно, а потому Условию удовлетворяют значения 360. Значит, было 357 монет.
Ответ: 357.
Критерии проверки:
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
одиннадцатый член 
Найти первый член и разность прогрессии.
и 
то есть 
на интервале 
лежит
и 
тогда
и 
Необходимо найти 
откуда 
и 
Значит,
и 
Проверка:
откуда 
C другой стороны, 
то есть 
Следовательно, 
а потому 
Условию удовлетворяют значения 315. Значит, было 307 роз.
пятый член 
Найти сумму первых пяти членов.
и 
Необходимо найти S5. Тогда
Итого:
на отрезке [−2; 1].
и 
и 
Пусть 
тогда
следует, что 
тогда 
и 
следовательно, 
следовательно, 
и 
Проверка: 
откуда 
C другой стороны, 
то есть 
Следовательно, 
а потому 
Условию удовлетворяют значения 360. Значит, было 357 монет.