Всего: 100 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100
Добавить в вариант
В треугольнике ABC сторона BC равна 4, а угол ACB равен 
Окружность Г радиуса 
касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC. Найдите длины отрезков CL, MK, AB и площадь треугольника CMN.
Рассмотрим треугольник MKB. По теореме косинусов 
откуда 
Отсюда следует, что 
Окружность 
радиуса 
касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC, 
Найдите угол ACB, длины отрезков MK, AB и площадь треугольника CMN.
через 
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому 
Так как угол 
лежит напротив меньшей стороны треугольника, то он острый. Из треугольника ACH получаем, что 
откуда 
отсюда 
Отсюда следует, что 
Окружность 
радиуса касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC, 
Найдите угол ACB, длины отрезков MK, AB и площадь треугольника BKN.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому 
Рассмотрим треугольник MKB. По теореме косинусов 
Тогда площадь треугольника BKN равна 
Отсюда следует, что 
В треугольнике ABC проведена медиана BM; MD и ME — биссектрисы треугольников AMB и CMB соответственно. Отрезки BM и DE пересекаются в точке P, причём 
а) Найдите отрезок DE.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника ADEC можно описать окружность. Найдите её радиус.
то отсюда следует, что 
поэтому AC и DE — параллельны. Но тогда 
Аналогично получаем, что 
и тогда 
б) 
В треугольнике ABC проведена медиана BM; MD и ME — биссектрисы треугольников AMB и CMB соответственно. Отрезки BM и DE пересекаются в точке P, причём 
а) Найдите отрезок DE.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника ADEC можно описать окружность. Найдите её радиус.
Аналогично получаем, что 
и тогда 
б)
В треугольнике ABC известно, что 
угол 
Продолжение биссектрисы AA1 пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A2. Найдите площади треугольников OA2C и A1A2C (O — центр окружности, описанной около треугольника ABC).
—
который по условию равен 
поэтому 
Тогда площадь треугольника 
равна 
Углы 
и 
равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, поэтому 
Значит, 
— равносторонний и найдена его площадь — 1 балл.
— 3 балла.В треугольнике ABC известно, что 
угол 
Продолжение биссектрисы AA1 пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке A2. Найдите площади треугольников OA2C и A1A2C (O — центр окружности, описанной около треугольника ABC).
равносторонний, поэтому 
В треугольнике ABC угол при вершине A в два раза больше угла при вершине C. Через вершину B проведена касательная l к окружности 
описанной около треугольника ABC. Расстояния от точек A и C до этой касательной относятся как 9 : 25.
а) Найдите отношение расстояний от точки A до прямых l и BC.
б) Найдите расстояние от точки С до прямой l и радиус окружности 
тогда 
По обобщённой теореме синусов находим, что 
(иначе сумма углов треугольника больше 180°).
от точки A до касательной равно 
от точки C до касательной равно 
Тогда 
и 
Расстояние от точки A до прямой 
равно 
Точка K лежит на стороне AB треугольника ABC с углом 120° при вершине C. В треугольники AKC и BKC вписаны окружности с центрами O и Q соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника OQC, если 
и тогда по теореме Пифагора находим, что 
Точка P лежит на стороне BC треугольника ABC с углом 60° при вершине A. В треугольники APB и APC вписаны окружности с центрами D и T соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADT, если 
и тогда по теореме Пифагора находим, что 
Окружность данного радиуса R разделена на 10 равных частей. Соединив последовательно хордами первую точку с четвертой, четвертую с седьмой и т. д., получим двадцатиугольник с десятью входящими и десятью выходящими углами. С помощью циркуля и линейки постройте квадрат, равновеликий этому двадцатиугольнику.
как вписанный, опирающийся на дугу 
как центральный, опирающийся на дугу 
Имеем 
OB — найдем по теореме синусов: 
или 
Получаем 
под радикал, получим 
Три конуса с вершиной A и образующей 
касаются друг друга внешним образом. У двух конусов угол между образующей и осью симметрии равен 
а у третьего он равен 
Найдите объем пирамиды O1O2O3A, где O1, O2, O3 — центры оснований конусов.
и 
где B — середина отрезка O1O2, AD — общая образующая второго и третьего конусов. Тогда 
проведены биссектрисы AA1 и BB1. Докажите, что 
и 
Тогда 
Тогда 
Треугольники AB1I и AKI равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
и, значит, 
и 
На прямой, проходящей через центр O окружности радиуса 12 см, взяты точки A и B, лежащие по разные стороны от точки O так, что OA = 15 см, OB = 13 см. Из точек A и B проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой AB. Найдите площадь треугольника ABC, если C — точка пересечения этих касательных.
как угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания. Из прямоугольного треугольника AKO: 
Пусть 
тогда 
и 
либо AK и BN, либо CK и CN.В треугольнике ABC углы A и B равны 45° и 30° соответственно, СM — медиана. Окружности, вписанные в треугольники ACM и BCM касаются отрезка CM в точках D и E. Найдите площадь треугольника ABC, если длина отрезка DE равна 
Следовательно, 
и 
Тогда 
По теореме синусов имеем 
то есть 
Таким образом, 
и 
В треугольнике ABC углы A и B равны 45° и 30° соответственно, CM — медиана. Окружности, вписанные в треугольники ACM и BCM касаются отрезка CM в точках D и E. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если длина отрезка DE равна
и 
длина AC = 2 cм, H — точка пересечения его высот. Площадь треугольника AHC равна 
см2.
поэтому: 
длина 
см, B — точка пересечения его высоты FK c описанной около него окружностью. Площадь треугольника AFC равна 
см2. Найти площадь треугольника ABC.
В треугольнике ABC проведена медиана AM, точка O — центр описанной около него окружности, точка Q — центр вписанной в него окружности. Отрезки AM и OQ пересекаются в точке S, при этом
Найдите сумму синусов величин углов ABC и ACB, если известно, что 
Ответ при необходимости округлите до сотых.
дуги BL и CL равны и имеют меры 
Значит, 
треугольник BLC — равнобедренный, поэтому его медиан а LM будет и его высотой, то есть прямая LM является серединным перпендикуляром к стороне BC. Стало быть, точка O тоже лежит на прямой LM, причем, в силу того, что дуга BLC меньше π, точки O и L лежат в разных полуплоскостях относительно прямой BC.
поэтому он равносторонний; CM — его высота, поэтому CM и его медиана, стало быть, 
С учетом этого равенство (*) принимает вид 
тогда 
По свойствам вписанных углов 
Тогда, пользуясь теоремой синусов для треугольника ALC, имеем 
В треугольнике KLM проведена медиана KM, точка O — центр описанной около него окружности, точка Q — центр вписанной в него окружности. Отрезки KP и OQ пересекаются в точке S, при этом 
Найдите сумму синусов величин углов KLM и KML, если известно, что 
Ответ при необходимости округлите до сотых.
