Всего: 100 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100
Добавить в вариант
Известно, что в трапецию с углом 30° при основании можно вписать окружность и около нее можно описать окружность. Найти отношение площади трапеции к площади вписанного в нее круга. Найти отношение площади трапеции к площади описанного около нее круга.
—
Угол при основании трапеции 
угол 
Q — середины оснований.
Тогда 
Площадь трапеции 
поэтому 
откуда 
поскольку KU — биссектриса угла IKA. Катет UF прямоугольного треугольника FIU меньше его гипотенузы UI. Значит, 
и по теореме синусов 
и 
Угол QWA внешний для треугольника WIA, откуда 
Chords EF, FG and GH are drawn in a circle. It is known that 
and the chord EF is parallel to the chord GH. Point T belongs to the circle, and 
Find the area of pentagon EFHTG.
В круге проведены хорды EF, FG и GH такие, что и хорда EF параллельна хорде GH. На окружности выбрана точка T такая, что Найдите площадь пятиугольника EFHTG.
Triangles EFG and HTF are equal to each other, and as their sides are known, the areas can be calculated using Heron's formula: 
Then 
Then we use law of cosines and extended law of sines for triangle FGT: 
for 
or 
The former variant is unacceptable (as it means that 
and the only possibility is the latter one. It yields 
и 
Далее применяем теорему косинусов и обобщённую теорему синусов для треугольника FGT: 
и подходит только второй вариант. Отсюда следует, что 
Продолжение биссектрисы BL треугольника ABC пересекает его описанную окружность в точке K. Биссектриса внешнего угла B пересекает продолжение отрезка CA за точку A в точке N. Докажите, что если BK = BN, то отрезок LN равен диаметру описанной окружности треугольника.
(А. Кузнецов)
Тогда 
как угол между внешней и внутренней биссектрисами треугольника. Тогда 
следовательно, 
и 
Найдите углы треугольника ABC.
Кроме этого, 
так что треугольники BLY и CLY равны по трем сторонам, и 
а также равны углы ALX и BLX. К сожалению, эти углы находятся не между равными сторонами, поэтому первый признак равенства не применим. Однако это означает, что углы XAL и XBL либо равны, либо дополняют друг друга до 
Проще всего объяснить это с помощью теоремы синусов в треугольниках XAL и XBL: 
Bo втором случае четырехугольник AXBL оказался бы вписанным, чего не может быть: точка L не лежит на окружности, проходящей через A, B и X. Следовательно, треугольники XAL и XBL всё же равны и 
т. е. медиана треугольника ABC равна половине стороны AC. Это значит, что треугольник прямоугольный. А поскольку медиана BL совпадает с биссектрисой, он еще и равнобедренный.
и 
Найдите угол AKB.
откуда L и B лежат по разные стороны от AC и L лежит на меньшей дуге AC. Тогда вписанный угол CAL равен половине центрального угла CBL, то есть 
Значит, 
и 
Следовательно, треугольники BOC и KOC равны по двум сторонам и углу, лежащей против большей из них (так называемый четвёртый признак равенства треугольников). Поэтому OB = OK, то есть треугольник BOK равнобедренный с углом 
при вершине O. Поэтому 
a 
и 
). Отсюда следует, во-первых, что BM = KN, во-вторых, что B лежит на отрезке LM (так как BM = KN < AN = LM), и, наконец, что 
и 
то есть это равнобокая трапеция. Отсюда следует, что 
По теореме синусов: 
то 
Значит, 
откуда:
и поэтому F — проекция точки M на прямую OQ — лежит на отрезке OQ. Аналогично, угол 
и, следовательно, точка L — проекция точки M на прямую SQ — лежит за пределами отрезка SQ.
Но, по условию, 
(так как SM биссектриса), следовательно, 
и OM является биссектрисой угла QOT. 
а пирамида SMNK правильная.
—
—
—
и 
через тригонометрические функции угла α. Из VSNK 
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды и площадь ее основания связаны соотношением: 
Тетраэдр ABCD с остроугольными гранями вписан в сферу с центром О. Прямая, проходящая через точку O перпендикулярно плоскости ABC, пересекает сферу в точке E такой, что D и E лежат по разные стороны относительно плоскости ABC. Прямая DE пересекает плоскость ABC в точке F, лежащей внутри треугольника ABC. Оказалось, что 
и 
Найдите величину угла ACB.
Значит, 
Из вписанности четырехугольника AEXD следует, что 
Раз 
то E — середина дуги AX описанной окружности треугольника ADE, и, значит, 
которое влечет за собой равенство 
Аналогичными рассуждениями получаем, что 
и, следовательно, 
Отметим, что это равенство можно вывести и из теоремы косинусов для трехгранных углов. 
значит, имеет место второй. Тогда 
и является центральным для угла ACB в описанной окружности треугольника ACB. В результате заключаем, что 
(+1 балл). 
(+1 балл). 
(+1 балл). Две окружности C1(O1) и C2(O2) с различными радиусами пересекаются в точках A и B. Касательная из точки A к C1 пересекает касательную из точки B к C2 в точке M. Докажите, что окружности из точки M видны под одинаковыми углами. (Говорят, что окружность видна из точки вне ее под углом α, если касательные, проведенные из этой точки к окружности, образуют угол α).
что равносильно
следовательно,
На сторонах BC, CA и AB неравнобедренного треугольника ABC выбраны точки L, M и N соответственно. Биссектриса угла ABC и серединный перпендикуляр к отрезку NL пересекаются в точке P. Известно, что 
и
Найдите длину отрезка MP.
и 
следуют равенства 
и 
соответственно, то 
и равнобедренность треугольника LPN, нетрудно найти углы 
и 
Применив теорему синусов, получим 
и 
Найдите сторону CD.
и 
равны соответственно 
и 
Сумма градусных мер дуг 
и 
равна 360°. Значит, величина угла CAD (равная половине градусной меры дуги 
определяется равенством1 
попарно касаются друг друга внешним образом, а также касаются внешним образом четвертой окружности с радиусом r. Найти r.
где α, β, γ — углы треугольника со сторонами x, y, z и радиусом описанной окружности R, то по теореме синусов и по теореме косинусов получим 
тогда
получим 
—
—
Основания трапеции ABCD связаны соотношением
сумма углов 
На боковых сторонах выбраны точки M и N таким образом, что
Перпендикуляры, восстановленные в точках M и N к боковым сторонам трапеции, пересекаются в точке O. Найдите AD, если 
Поэтому 
Следовательно, MO — серединный перпендикуляр к стороне AS. Аналогично, NO — серединный перпендикуляр к DS. Таким образом, точка O — центр описанной около треугольника ASD окружности, а AO — ее радиус. Запишем формулу для радиуса описанной окружности 
Точка P внутри остроугольного треугольника ABC такова, что ∠BAP=∠CAP. Точка M — середина стороны BC. Прямая MP пересекает описанные окружности треугольников ABP и ACP в точках D и E соответственно (точка P лежит между точками M и E, точка E лежит между точками P и D). Оказалось, что DE = MP. Докажите, что BC = 2BP.
что и требовалось доказать.
По теореме синусов для треугольников BDM и CEM имеем 
Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, B и M, где M — точка пересечения диагоналей ABCD.
Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, B и M, где M — точка пересечения диагоналей ABCD.
а) В прямоугольном треугольнике ABC на катете AC и гипотенузе AB отмечены точки D и E соответственно, такие что 
и 
Найдите тангенс угла BAC, если известно, что ∠CED = 45°.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите площадь треугольника CED.
Тогда 
Отсюда 
По теореме синусов для треугольника CDE имеем 
б) 
и других продвижений нет — 1 балл за задачу.Окружности Ω и ω касаются в точке A внутренним образом. Отрезок AB — диаметр большей окружности Ω, а хора BC окружности Ω касается ω в точке D. Луч AD повторно пересекает Ω в точке E. Найдите радиусы окружностей и площадь четырёхугольника BACE, если известно, что CD = 1, BD = 3.
а радиусы Ω и ω через R и r соответственно. Пусть O и Q центры окружностей Ω и ω соответственно; K — точка пересечения ω и AB, отличная от A. Отметим, что 
(касательная BD перпендикулярна радиусу DQ) и 
(угол вписан в окружность Ω и опирается на её диаметр). Значит, треугольники BDQ и BCA подобны (по двум углам). Отсюда 
т. е. 
а значит, 
По теореме о касательной и секущей 
и 
Две окружности C1(O1) и C2(O2) с различными радиусами пересекаются в точках A и B. Касательная из точки A к C1 пересекает касательную из точки B к C2 в точке M. Докажите, что окружности из точки M видны под одинаковыми углами. (Говорят, что окружность видна из точки вне ее под углом α, если касательные, проведенные из этой точки к окружности, образуют угол α).
что равносильно 
