Всего: 100 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100
Добавить в вариант
В остроугольном треугольнике АВС 
На стороне АС выбирается точка К. Около треугольников АВК и СВК описываются окружности с центрами O1 и O2 соответственно. Найдите радиус окружности, описной около треугольника АВС, если наименьшая из возможных длина отрезка О1О2 = 2 см.
тогда наименьшая возможная длина O1O2 = 0,5AC, т. е. O1O2 — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, AC = 4. Тогда по следствию из теоремы синусов:
Точка M лежит на описанной около правильного треугольника ABC окружности и не совпадает с его вершинами. Докажите, что сумма расстояний от точки M до прилегающих вершин треугольника равна расстоянию от точки M до третей его вершины: AM + CM = BM.
R —
Требуется доказать, что 
Имеем:
Имеем: 
тогда
(точка M — не середина дуги AMC), то 
то есть 
(точка M середина дуги AMC), то BM — диаметр, 
и из 
имеем: 
при этом 
Найдите периметр треугольника ABC.
Пусть O — точка пересечения MB и CH, тогда 
Обозначим 
тогда 
поэтому 
Следовательно, треугольник и 
и 
подобны по двум углам. Из подобия получаем 
Подставляя это в формулу 
и сокращая на 
Следовательно, треугольник ABC равносторонний.В треугольнике со сторонами AB = BC = 5 и AC = 6 на основании AC выбрана точка N так, что AN : NC = 2 : 1. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ABN и CBN. При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
—
—
а 
—
Треугольники ABC и 
подобны.
получаем ответ 
В треугольнике со сторонами 
и AC = 6 на основании AC выбрана точка N так, что AN : NC = 2 : 1. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ABN и CBN. При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
проведенная через точки M, N и C, касается стороны AB. Длина стороны AC равна 2. Найти синус угла 
—
—
как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и MN. Поэтому треугольники AMC и CNM подобны. Отсюда 
равен 
Окружность, проведенная через точки A, B и L, касается стороны PQ. Найти радиус этой окружности.
—
—
как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и PL. Поэтому треугольники PAL и ABL подобны. Отсюда
а BC=4.
и 
Найти: BM.
Тогда 
т. к. опираются на дугу АС большой окружности; 
т. к. опираются на дугу AC маленькой окружности; 
и 
По теореме синусов: 
и 
где R — радиус большой окружности, r — радиус маленькой. Тогда 
откуда 
или 
следовательно, 
Значит,
откуда 
Следовательно, 
Окружность радиуса 2, вписанная в треугольник АВС, касается стороны ВС в точке D. Окружность радиуса 4 касается продолжения сторон АВ и АС, а также стороны ВС в точке Е. Найдите площадь треугольника ADE, если величина угла АСВ
где отрезок AH перпендикулярный BC — высота в треугольниках ABC и AED, а также катет прямоугольного треугольника ACH с углом C равным 60 градусам, значит, 
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD, сторона AC равна 2. Описанная около треугольника ABD окружность проходит через центр окружности, вписанной в треугольник ACD. Найдите площадь треугольника ACD, если 
где 
— радиусы окружностей, описанных около треугольников ABD и ACD соответственно.
и 
Имеем 
и 
По свойствам вписанных углов имеем 
и 
и 
и 
Треугольник ABC — равнобедренный, 
где 
Тогда 
Согласно теореме синусов, имеем 
то 
и 
По теореме синусов имеем 
Тогда площадь треугольника ACD равна
Найдите площадь треугольника AEF. Результат округлите до десятых (все промежуточные вычисления проводить точно).
и 
вычислим величину углов 
Эти углы являются внешними для треугольника AOC. И, значит, 
(радиуc вписанной окружности). Имеем 
и 
треугольники FOL и KOE равны, и 
и 
тогда
Дан вписанный четырехугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке E, а лучи DA и CB в точке F. Луч BA пересекает описанную вокруг треугольника DEF окружность в точке L, а луч BC пересекает ту же окружность в точке K. Длина отрезка LK равна 5, 
Найти радиус окружности, описанной около треугольника EFK.
равнобедренный. 
Окружность проходит через вершины A и C равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) и пересекает стороны AB и BC в точках M и N, соответственно. MK, хорда этой окружности, равная по длине 
содержит точку H, лежащую на AC и являющуюся основанием высоты треугольника ABC. Прямая, проходящая через точку C и перпендикулярная BC, пересекает прямую MN в точке L. Найти радиус окружности, описанной около треугольника MKL, если 
получаем подобие треугольника KCL и треугольника BHK следовательно, 
и 
подобен 
или 
подобен 
Можно ли утверждать, что ABCD — прямоугольник, если известно, что: 
следует, что 
Так как площади треугольников ABC и ABD равны (они равны половине площади параллелограмма). По условию, 
значит, 
следовательно, 
Поскольку диагонали параллелограмма равны, 
(в треугольнике ABC) и 
(в треугольнике ABD). Поскольку 
а синусы углов A и B равны (так как углы в сумме составляют 180°), опять получаем равенство диагоналей.Биссектриса угла ABC пересекает описанную окружность 
треугольника ABC в точках B и L. Точка M — середина отрезка 
На дуге ABC окружности выбрана точка E так, что 
Прямые AB и BC пересекают прямую EL в точках P и Q соответственно. Докажите, что 
и 
равны, так как опираются на одну дугу. Значит, медиане DM соответствует отрезок BE, и он сам является медианой треугольника BPQ, 
что и требовалось доказать.Внутри окружности взята произвольная точка М, отличная от центра окружности. Для каждой хорды окружности, проходящей через М и отличной от диаметра, обозначим через С точку пересечения касательных к окружности, проведённых через концы этой хорды. Доказать, что геометрическое место точек С является прямой.
на стороне AB выбрана точка D так, что BD = AC. Найдите величину угла DBC (в радианах) и сравните её с 0,18.
Поэтому 
При этом 
и 
Тогда 
и применяя теорему синусов для треугольника BCD, получаем 
и 
где
Следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность. Далее, по теоpeме синусов 
биссектрисы BD и CE пересекаются в точке I. Найдите наименьший возможный радиус окружности, описанной около треугольника DEI, если сумма длин отрезков DI и EI равна 2d.
Из неравенства о среднем арифметическом и геометрическом, получаем: 
причём равенство достигается в случае 
Поэтому справедливо 
то, что xy стремится к нулю, понятно из того, что один из углов B либо C можно устремить к нулю. По теореме косинусов в треугольнике EID, получаем 
