сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Клет­ки бес­ко­неч­но­го клет­ча­то­го листа бу­ма­ги кра­сят­ся в k цве­тов (каж­дая клет­ка кра­сит­ся це­ли­ком в один цвет). При каком наи­боль­шем k в каж­дом клет­ча­том пря­мо­уголь­ни­ке со сто­ро­на­ми 3 и 4 встре­тят­ся клет­ки всех этих цве­тов?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Разо­бьем бес­ко­неч­ный клет­ча­тый лист бу­ма­ги на де­ся­ти­кле­точ­ные фи­гур­ки (см. верх­ний рис.) так, как по­ка­за­но на сред­нем ри­сун­ке.

Тре­бу­е­мая рас­крас­ка в 10 цве­тов по­лу­чит­ся, если рас­кра­сить одну такую фи­гу­ру в 10 цве­тов, а осталь­ные рас­кра­сить ровно таким же спо­со­бом.

Оче­вид­но, что более чем в 12 цве­тов тре­бу­е­мым об­ра­зом по­кра­сить лист нель­зя. Пусть есть рас­крас­ка в 11 или 12 цве­тов. Пред­по­ло­жим, что на­шлась такая рас­крас­ка в 11 цве­тов, что в каж­дом квад­ра­те 3 × 3 все цвета раз­лич­ны. Рас­смот­рим один такой квад­рат. В со­дер­жа­щем его пря­мо­уголь­ни­ке 3 × 4 име­ет­ся лишь 11 раз­лич­ных цве­тов. По­это­му в до­пол­ни­тель­ной по­лос­ке 3 × 1 какие-то два цвета сов­па­да­ют. Тогда в квад­ра­те 3 × 3, со­дер­жа­щем эту по­лос­ку, какие-то два цвета сов­па­да­ют.

Пусть у нас есть рас­крас­ка в n цве­тов, где n равно 11 или 12. Вы­бе­рем квад­рат 3 \times 3, в ко­то­ром не более n минус 3 раз­ных цве­тов. До­стро­им его до пря­мо­уголь­ни­ков 3 × 4 и 4 × 4 так, как по­ка­за­но на ниж­нем ри­сун­ке. Тогда в по­лос­ках 3 × 1 и 1 × 3 пред­став­ле­ны оди­на­ко­вые трой­ки цве­тов. На­кро­ем го­ри­зон­таль­ным пря­мо­уголь­ни­ком 3 × 4 клет­ку, по­ме­чен­ную кре­сти­ком. Тогда этот пря­мо­уголь­ник будет со­дер­жать 5 кле­ток из по­ло­сок, зна­чит, в нем име­ет­ся не менее двух пар кле­ток од­но­го цвета, по­это­му общее ко­ли­че­ство цве­тов не пре­вос­хо­дит 10. Про­ти­во­ре­чие.

 

Ответ: 10.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Общая схема:

0 бал­лов  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник к ре­ше­нию за­да­чи не при­сту­пал или на­ча­тый ход ре­ше­ния пол­но­стью не­ве­рен;

1 балл  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник при­сту­пил к ре­ше­нию за­да­чи, ука­зал вер­ное на­прав­ле­ние ре­ше­ния за­да­чи и по­лу­чил пра­виль­ные про­ме­жу­точ­ные ре­зуль­та­ты, но при этом не про­дви­нул­ся на­столь­ко, чтобы можно было су­дить о том, каким об­ра­зом он со­би­рал­ся по­лу­чить окон­ча­тель­ный ответ (то есть весь ход ре­ше­ния не пред­став­лен);

2 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если вы­бран­ный участ­ни­ком ход ре­ше­ния за­да­чи яв­ля­ет­ся в прин­ци­пе пра­виль­ным, но при этом участ­ник не смог его ре­а­ли­зо­вать в силу серьёзных оши­бок;

3 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если ре­ше­ние яв­ля­ет­ся в целом пра­виль­ным, но со­дер­жит ошиб­ки, по­вли­яв­шие на ответ;

4 балла  — вы­став­ля­ет­ся, если участ­ник решил за­да­чу в целом пра­виль­но и по­лу­чил вер­ный ответ; при этом в ре­ше­нии до­пус­ка­ют­ся не­зна­чи­тель­ные не­точ­но­сти.

 

Фак­то­ры, вли­я­ю­щие на оцен­ку.

1.  Одна из ос­нов­ных целей Олим­пи­а­ды  — вы­яв­ле­ние у обу­ча­ю­щих­ся твор­че­ских спо­соб­но­стей. По­это­му в слу­чае пред­став­ле­ния участ­ни­ком ин­те­рес­но­го ори­ги­наль­но­го под­хо­да к ре­ше­нию за­да­чи, оцен­ка за ре­ше­ние может быть уве­ли­че­на на 1 балл.

2.  Пра­виль­ный ответ к за­да­че, при­ве­ден­ный без до­ста­точ­ных обос­но­ва­ний, либо при на­ли­чии оши­бок в ре­ше­нии, либо при от­сут­ствии ре­ше­ния, не ведёт к уве­ли­че­нию оцен­ки, ко­то­рая вы­став­ля­ет­ся участ­ни­ку за дан­ную за­да­чу.

3.  Если участ­ник не довел за­да­чу до от­ве­та, то ито­го­вая оцен­ка за дан­ную за­да­чу не может пре­вы­шать 1 балл.

4.  Если за­да­ча ре­ше­на пе­ре­бо­ром воз­мож­ных ва­ри­ан­тов, и при этом пе­ре­бор не­пол­ный, то за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся до 1 балла. Если участ­ник по­до­брал част­ное ре­ше­ние без обос­но­ва­ния и про­ве­рил его пра­виль­ность, то в этом слу­чае за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся до 0,5 бал­лов.

5.  Если за­да­ча ре­ше­на при до­пол­ни­тель­ном пред­по­ло­же­нии, ко­то­рое от­сут­ству­ет в усло­вии, то за за­да­чу вы­став­ля­ет­ся

а)  до 1 балла, если это пред­по­ло­же­ние можно до­ка­зать;

б)  до 0,5 бал­лов, если оно не обя­за­но вы­пол­нять­ся, но не про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи;

в)  0 бал­лов, если оно про­ти­во­ре­чит усло­вию.

6.  Если в ра­бо­те при­ве­де­ны два ре­ше­ния или от­ве­та к одной за­да­че, про­ти­во­ре­ча­щие друг другу, то за за­да­чу ста­вит­ся 0 бал­лов.


Аналоги к заданию № 2257: 2565 Все