Всего: 102 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–102
Добавить в вариант
Найдите все значения параметров a и b, для которых неравенство
выполняется для всех значений 
(Р. Алишев)
Наибольшее значение функции 
на отрезке 
достигается в критических точках внутри отрезка или на концах. Тогда
критическими являются корни уравнения 
и 
В нуле и единице неравенство должно быть выполнено. Поэтому 
и 
Отсюда несложно получить следующие ограничения на a и b:
то есть 
Для корней уравнения исходное неравенство, очевидно, будет выполняться. Все допустимые значения параметров находим из решения системы:
Построим на плоскости все точки, удовлетворяющие каждому из неравенств. По абсциссе отложим значения параметра a, по ординате — параметра b.
Только точка 
входит в решение каждого из неравенств. Докажем более строго, что нет других решений системы
Если 
то из первого и третьего неравенства получим:
что невозможно. Если же 
то
что тоже не имеет решения. При 
из третьего неравенства сразу получим 
а затем со второго 
Ответ: 
При каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно три решения?
Приведём выражение к более удобному виду:
Обозначим 
через u, 
через v. Заметим, что 
Исследуем поведение функции 
при 
а именно, покажем, что она монотонна на этом луче. Для этого достаточно показать, что её производная знакопостояннна нём. Получим
Покажем, что
при 
Действительно,
Значит, 
при
Функция f монотонна и 
следовательно, 
то есть 
то есть 
Нарисовав графики функций 
и 
легко понять, что чтобы было ровно три решения, необходимо либо, чтобы у них совпадали вершины, либо происходило касание. Первое происходит при 
второе при 
Ответ: при 
−1; 
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок:
а) «+», «±» — задача скорее решена;
б) «∓», «−» — задача скорее не решена;
в) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач - задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Оценки по задачам имеются в таблице в личном кабинете участника. Оценки внутри работы и на титульном листе работы выставлены в процессе предварительной проверки и не являются основанием для апелляции.
Приведённые далее критерии описывают оценки продвижений и ошибок, встречающихся во многих работах. Поэтому они не подлежат изменению и могут быть использованы для апелляции только в случае, если вы укажете, что какое-то место в вашей работе, подходящее под один из этих критериев, оценено не в соответствии с ним.
Комментарий по оцениванию данной задачи
Без доказательства утверждается, что из 
следует a = b — не выше «∓».
Без доказательства утверждается, что из 
следует a = b — не выше «∓».
−1; При каких значениях параметра a уравнение 
имеет единственное решение?
Заметим, что 
не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению
Обозначим правую часть через f(x).
Заметим, что 
при 
и 
при 
Также f(x) имеет вертикальную асимптоту 
Производная функции f(x) равна
Значит, функция f(x):
а) на промежутке 
убывает от 
до 
б) на промежутке [−4; 0) — возрастает от 
до 
в) на промежутке (0; 1] — убывает от до 
г) на промежутке [1; 3] — возрастает от −8 до 
д) на промежутке 
—
до 
Таким образом, каждое значение из промежутка 
функция f(x) принимает ровно один раз; −8 — два раза; из промежутка 
— —
—
—
—
Следовательно, уравнение (*), а с ним и исходное уравнение, имеет единственное решение при 
Ответ: 
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
При каких значениях параметра a уравнение 
имеет не более двух решений?
Заметим, что не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению
Обозначим правую часть через f(x).
Заметим, что 
при и при Также f(x) имеет вертикальную асимптоту Производная функции f(x) равна
Значит, функция f(x) на промежутке 
возрастает от 
до 
на промежутке [–2; 0) — продолжает возрастать от 12 до 
на промежутке (0; 1] — возрастает от до 
наконец, на промежутке 
—
Таким образом, каждое значение из промежутка 
функция f(x) принимает ровно три раз; −15 — два раза; из промежутка 
один раз. Например, значение −15 функция примет один раз в точке 1, а второй раз — на промежутке 
Следовательно, уравнение 
а с ним и исходное уравнение, имеет не более двух решений при 
Ответ: 
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три решения?
Заметим, что не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению
Обозначим правую часть через 
Заметим, что при и при Также 
имеет вертикальную асимптоту Производная функции равна
Значит, функция на промежутке 
возрастает от до на промежутке 
— продолжает возрастать от 12 до на промежутке 
— возрастает от до наконец, на промежутке 
— убывает от −15 до
Таким образом, каждое значение из промежутка 
функция принимает ровно три раз; −15 — два раза; из промежутка 
— один раз. (Например, значение −15 функция примет один раз в точке 1, а второй раз — на промежутке 
Следовательно, уравнение 
а с ним и исходное уравнение, имеет ровно три решения при 
Ответ: 
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
«+» — задача решена полностью;
«±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
«∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
При каких значениях параметра a уравнение имеет более одного решения?
Заметим, что не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению
Обозначим правую часть через
Заметим, что 
при и при Также имеет вертикальную асимптоту Производная функции равна
Значит, функция на промежутке 
убывает от до 
на промежутке 
— возрастает от 
до на промежутке — убывает от до 
на промежутке 
— возрастает от −8 до 
наконец, на промежутке 
— убывает от 
до
Таким образом, каждое значение из промежутка 
функция принимает ровно один раз; −8 — два раза; из промежутка 
— три раза; 
— два раза; из промежутка 
— один раз; — два раза; из промежутка 
— три раза. (Например, значение −8 функция примет один раз в точке 1, а второй раз — на промежутке 
Следовательно, уравнение а с ним и исходное уравнение, имеет более одного решения при
Ответ: 
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
«+» — задача решена полностью;
«±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
«∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Сколько решений имеет уравнение 
Данная задача демонстрирует силу графического метода. Все, что нужно уметь — это складывать графики. Причем в данном случае, поскольку функции
Ответ: два решений при 
три — при остальных значениях параметра.
три — при остальных значениях параметра.При каких значениях a уравнение 
имеет ровно 8 решений?
Функция 
равна единице, если 
Таким образом, 
и график функции 
должен пересекать лишь четыре из бесконечного набора прямых 
то есть 
Построив графики (см. рис.), заключаем, что 
Ответ: при
Действительные числа x, y и a таковы, что 
При каком a произведение xy — наибольшее?
Имеем
Далее, система
то есть 
или 
Квадратная функция 
на указанном множестве принимает наибольшее значение при 
(см. рисунок).
Ответ: при 
График функции 
касается прямой 
Доказать, что все такие функции имеют одно и то же минимальное значение. Найти это значение (в виде числа).
Условие касания графика функции 
и прямой 
равносильно тому, что квадратное уравнение
имеет единственное решение, а это эквивалентно равенству нулю его дискриминанта:
Минимальное значение функции достигается при 
и равно
не зависит от p и q.
Высказывание идеи, что касание графика функции и прямой равносильно тому, что соответствующее квадратное уравнение имеет единственное решение: 1 балл. Нахождение условия 
: ещё 2 балла.
На координатной плоскости рассматриваются параболы вида 
относительно которых известно, что 
при 
Найдите наибольшее возможное значение параметра a.
Так как 
то график симметричен относительно прямой 
Тогда
Учитывая, что 
приходим к выводу, что наибольшее возможное значение параметра 
достигается при
Ответ: 
Для всех значений параметра a решите неравенство 
Допустимые значения переменной x определяются системой
Этой системе на координатной плоскости xOa соответствует множество точек, лежащих ниже прямой 
правее оси a и не включающее прямую 
Построим теперь график функции 
Этим графиком часть плоскости, соответствующая области допустимых значений, разбивается на четыре области D1, D2, D3 и D4 (см. рис.).
В каждой из этих областей произвольно выберем по одной точке, например,
Подставляя теперь выбранные значения (x; a) в исходное неравенство, получаем соответствующие неравенства:
Первое и третье неравенства истинны, а второе и четвертое — ложны. Соответственно, исходное неравенство истинно только в областях D1 и D3.
Множество точек на плоскости x п с фиксированным а образует горизонтальную прямую. Решение же исходного неравенства будут абсциссы тех точек, которые принадлежат пересечению этой прямой с заштрихованными областями.
А тогда, если x1 и x2 — корни уравнения 
(определяемое формулами 
то, изменяя значение а от до 
непосредственно из рисунка выписываем ответ.
Ответ:
— если 
то 
— если 
то 
— 
то 
— 
то 
— 
то 
— если то
— если то
— то
— то
— то
При каких значениях вещественного параметра a система уравнений 
имеет единственное решение?
Запишем ОДЗ: 
Обратим внимание, что уравнение 
можно логарифмировать и записать в виде
Исследуем функцию 
на монотонность. Для этого найдем производную
Оказывается, что функция f(x) возрастает на промежутке (0, e) и убывает на промежутке 
Вычислим пределы
Найдем, когда 
Решением этого неравенства оказывается промежуток (0, 1]. Сделаем эскиз графика функции f(x).
Очевидно, что одним из решений уравнения 
всегда является полупрямая 
Второе решение существует только в том случае, если 
или 
Уравнение имеет единственное решение только в случае если 
В таком случае 
где 
Исследуем функцию 
Для этого найдем ее производную
Поскольку 
то функция g убывает при 
и возрастает при 
Выясним предел функции g в нуле
Таким образом, в области 
функция g принимает значения
а значит система обладает единственным решением при
Ответ: при
Постройте график функции 
Функцию можно переписать в виде
Запишем ОДЗ: 
Ответ: см. рисунок.
На плоскости Oxy уравнением
заданы координаты точки A, а уравнением 
— парабола с вершиной в точке B. Найдите все значения параметра a, при которых точки A и B лежат по разные стороны от прямой 
(точки A и B не лежат на этой прямой).
Первое уравнение можно преобразовать так:
Отсюда получаем, что координаты точки 
удовлетворяют равенствам 
и 
т. е. 
Так как второе уравнение задаёт параболу, то 
При этом условии уравнение можно переписать в виде
Координаты точки B следующие: 
и 
Обозначим 
Точки A и B лежат по разные стороны от прямой 
тогда и только тогда, когда 
и 
есть числа разных знаков. Последнее равносильно неравенству
Имеем
Ответ: 
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Найдены координаты точки A | 2 |
| Найдены координаты точки B | 1 |
| Задача сведена к неравенству или совокупности систем неравенств | 1 |
| Неэквивалентное преобразование неравенства (например, умножение обеих частей неравенства на выражение неопределенного знака) | не более 3 баллов за задачу |
| Максимальный балл | 6 |
На плоскости Oxy уравнением
заданы координаты точки A, а уравнением — парабола с вершиной в точке B. Найдите все значения параметра a, при которых точки A и B лежат по одну сторону от прямой 
(точки A и B не лежат на этой прямой).
Первое уравнение можно преобразовать так:
Отсюда получаем, что координаты точки удовлетворяют равенствам 
и 
т. е. 
Так как второе уравнение задаёт параболу, то 
При этом условии уравнение можно переписать в виде
Координаты точки B следующие: 
и 
Обозначим 
Точки A и B лежат по одну сторону от прямой 
тогда и только тогда, когда 
и 
— числа одного знака. Последнее равносильно неравенству 
Имеем
Ответ: 
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Найдены координаты точки A | 2 |
| Найдены координаты точки B | 1 |
| Задача сведена к неравенству или совокупности систем неравенств | 1 |
| Неэквивалентное преобразование неравенства (например, умножение обеих частей неравенства на выражение неопределенного знака) | не более 3 баллов за задачу |
| Максимальный балл | 6 |
На плоскости Oxy даны точка A, координаты 
которой удовлетворяют уравнению
и окружность с центром в точке B, заданная уравнением
Найдите все значения параметра a, при которых точки A и B лежат по разные стороны от прямой 
(точки A и B не лежат на этой прямой).
Первое уравнение можно преобразовать так:
Отсюда получаем, что координаты точки 
удовлетворяют равенствам 
и 
т. e. 
При этом условии уравнение можно переписать в виде
откуда далее
и окончательно 
Значит, координаты точки B следующие: 
и 
Для того, чтобы точки A и B лежали по разные стороны от прямой 
необходимо и достаточно, чтобы их ординаты удовлетворяли неравенству 
то есть 
Отсюда
Решая это неравенство методом интервалов, получаем ответ: 
Ответ: 
Замечание. Для решения задачи достаточно найти ординаты точек A и B.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Найдены координаты точки A | 2 |
| Найдены координаты точки B | 1 |
| Задача сведена к неравенству или совокупности систем неравенств | 1 |
| Неэквивалентное преобразование неравенства | не более 3 баллов за задачу |
| Максимальный балл | 6 |
На плоскости Oxy даны точка A, координаты которой удовлетворяют уравнению
и окружность с центром в точке B, заданная уравнением
Найдите все значения параметра a, при которых точки A и B лежат по разные стороны от прямой 
(точки A и B не лежат на этой прямой).
Первое уравнение можно преобразовать так:
Отсюда получаем, что координаты точки удовлетворяют равенствам 
и
Так как второе уравнение задаёт окружность, то При этом условии уравнение можно переписать в виде
откуда далее
и окончательно 
Значит, координаты точки B следующие: 
и 
Для того, чтобы точки A и B лежали по разные стороны от прямой 
необходимо и достаточно, чтобы их абсциссы удовлетворяли неравенству 
то есть 
Отсюда
Решая это неравенство методом интервалов, получаем ответ: 
Ответ: 
Замечание. Для решения задачи достаточно найти абсциссы точек A и B.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Найдены координаты точки A | 2 |
| Найдены координаты точки B | 1 |
| Задача сведена к неравенству или совокупности систем неравенств | 1 |
| Неэквивалентное преобразование неравенства | не более 3 баллов за задачу |
| Максимальный балл | 6 |
Дан график функции
Найдите a.
График касается оси Ox, поэтому дискриминант трехчлена равен нулю: 
Отсюда или 
Но из графика следует, что Нарисован график трехчлена 
Ответ: 4.
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 
имеет четыре различных корня.
Рассмотрим сначала случай
Построим график 
на координатной плоскости и проведем касательную из точки 
к ветви графика, расположенной между точками M1 и 
Найдем точку касания 
Эта точка удовлетворяет уравнению 
а также уравнению прямой 
где 
то есть 
Из этих уравнений получаем 
или 
Прямая 
пересекает график 
в четырех точках, когда угловой коэффициент этой прямой находится между угловыми коэффициентами прямых M1M2 и M1M3, значит,
Аналогично, для отрицательных а получим симметричные границы: 
Ответ: 
или 
или Наверх