РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4926 Добавить в вариант

При каких значениях параметра a уравнение $x в кубе плюс 6x в квадрате плюс ax плюс 8=0$ имеет ровно три решения?

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что $x=0$ не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению

$a= дробь: числитель: минус x в кубе минус 6 x в квадрате минус 8, знаменатель: x конец дроби левая круглая скобка в степени * правая круглая скобка .$

Обозначим правую часть через $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Заметим, что $f левая круглая скобка x правая круглая скобка \stackrelxarrow минус бесконечность$ при $x arrow минус бесконечность$ и $f левая круглая скобка x правая круглая скобка arrow минус бесконечность$ при $x arrow плюс бесконечность .$ Также $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ имеет вертикальную асимптоту $x=0.$ Производная функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ равна

$f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 8, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 2 x минус 6= дробь: числитель: 8 минус 2 x минус 6 x в квадрате , знаменатель: x в квадрате конец дроби = минус дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x в квадрате конец дроби .$

Значит, функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на промежутке $левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая квадратная скобка$ возрастает от $минус бесконечность$ до $f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =12;$ на промежутке $левая квадратная скобка минус 2,0 правая круглая скобка$   — продолжает возрастать от 12 до $плюс бесконечность ;$ на промежутке $левая круглая скобка 0,1 правая квадратная скобка$   — возрастает от $минус бесконечность$ до $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 15 ;$ наконец, на промежутке $левая квадратная скобка 1, плюс бесконечность правая круглая скобка$   — убывает от −15 до $минус бесконечность .$

Таким образом, каждое значение из промежутка $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 15 правая круглая скобка$ функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ принимает ровно три раз; −15  — два раза; из промежутка $левая круглая скобка минус 15 ; плюс бесконечность правая круглая скобка$   — один раз. (Например, значение −15 функция примет один раз в точке 1, а второй раз  — на промежутке $левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Следовательно, уравнение $левая круглая скобка в степени * правая круглая скобка ,$ а с ним и исходное уравнение, имеет ровно три решения при $a принадлежит$ $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 15 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 15 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):

«+»  — задача решена полностью;

«±»  — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;

«∓»  — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;

«–»  — задача не решена;

за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».

При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач  — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».

Аналоги к заданию № 4924: 4926 4927 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Анализ. Исследование функций при помощи производной, Задачи с параметрами. Уравнения высших порядков, Задачи с параметрами. Графики

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь