РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4925 Добавить в вариант

При каких значениях параметра a уравнение $x в кубе плюс 6x в квадрате плюс ax плюс 8=0$ имеет не более двух решений?

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что $x=0$ не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению

$a= дробь: числитель: минус x в кубе минус 6 x в квадрате минус 8, знаменатель: x конец дроби . \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Обозначим правую часть через f(x).

Заметим, что $f левая круглая скобка x правая круглая скобка \stackrelxarrow минус бесконечность$ при $x arrow минус бесконечность$ и $f левая круглая скобка x правая круглая скобка arrow минус бесконечность$ при $x arrow плюс бесконечность .$ Также f(x) имеет вертикальную асимптоту $x=0.$ Производная функции f(x) равна

$f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 8, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 2 x минус 6= дробь: числитель: 8 минус 2 x минус 6 x в квадрате , знаменатель: x в квадрате конец дроби = минус дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x в квадрате конец дроби .$

Значит, функция f(x) на промежутке $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка$ возрастает от $минус бесконечность$ до $f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =12;$ на промежутке [–2; 0)  — продолжает возрастать от 12 до $плюс бесконечность ;$ на промежутке (0; 1]  — возрастает от $минус бесконечность$ до $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = минус 15 ;$ наконец, на промежутке $левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка$   — убывает от −15 до $минус бесконечность .$

Таким образом, каждое значение из промежутка $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 15 правая круглая скобка$ функция f(x) принимает ровно три раз; −15  — два раза; из промежутка $левая круглая скобка минус 15; плюс бесконечность правая круглая скобка минус$ один раз. Например, значение −15 функция примет один раз в точке 1, а второй раз  — на промежутке $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка .$

Следовательно, уравнение $левая круглая скобка * правая круглая скобка ,$ а с ним и исходное уравнение, имеет не более двух решений при $a принадлежит левая квадратная скобка минус 15; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 15; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Общие критерии оценивания

По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):

а) «+» — задача решена полностью;

б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;

в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;

г) «−» — задача не решена;

д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».

При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Анализ. Исследование функций при помощи производной, Задачи с параметрами. Уравнения высших порядков, Задачи с параметрами. Графики

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь