РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5466 Добавить в вариант

График функции $y=x в квадрате плюс px плюс q$ касается прямой $y=2x плюс p.$ Доказать, что все такие функции имеют одно и то же минимальное значение. Найти это значение (в виде числа).

Спрятать решение

Решение.

Условие касания графика функции $y=x в квадрате плюс p x плюс q$ и прямой $y=2 x плюс p$ равносильно тому, что квадратное уравнение

$x в квадрате плюс p x плюс q=2 x плюс p равносильно x в квадрате плюс левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка x плюс q минус p=0$

имеет единственное решение, а это эквивалентно равенству нулю его дискриминанта:

$D= левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка q минус p правая круглая скобка =p в квадрате минус 4 q плюс 4=0 .$

Минимальное значение функции $y=x в квадрате плюс p x плюс q$ достигается при $x= минус дробь: числитель: p, знаменатель: 2 конец дроби$ и равно

$q минус дробь: числитель: p в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 4 q минус p в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 4 конец дроби =1$

не зависит от p и q.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Высказывание идеи, что касание графика функции и прямой равносильно тому, что соответствующее квадратное уравнение имеет единственное решение: 1 балл. Нахождение условия $p в квадрате минус 4 q плюс 4=0$ : ещё 2 балла.

Всесибирская олимпиада школьников, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Квадратный трёхчлен, т. Виета, Анализ. Касательная, Задачи с параметрами. Графики, Задачи с параметрами. Минимаксные задачи с параметрами

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь