РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5634 Добавить в вариант

На координатной плоскости рассматриваются параболы вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2020ax в квадрате минус 2020ax плюс 1,$ относительно которых известно, что $|f левая круглая скобка x правая круглая скобка | меньше или равно 1$ при $0 меньше или равно x меньше или равно 1.$ Найдите наибольшее возможное значение параметра a.

Спрятать решение

Решение.

Так как $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1,$ то график симметричен относительно прямой $x=0,5.$ Тогда

$f левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: 2020 a, знаменатель: 4 конец дроби .$

Учитывая, что $|f левая круглая скобка x правая круглая скобка | меньше или равно 1,$ приходим к выводу, что наибольшее возможное значение параметра $а$ достигается при

$f левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: 2020 a, знаменатель: 4 конец дроби = минус 1 \Rightarrow дробь: числитель: 2020 a, знаменатель: 4 конец дроби =2 \Rightarrow 2020 a=8 \Rightarrow a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 505 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 2, знаменатель: 505 конец дроби .$

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Графики, Задачи с параметрами. Симметрия в задачах с параметрами

Спрятать решение · Помощь