Всего: 102 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Даны две линейные функции f(x) и g(x) такие, что графики 
—
касается графика функции 
Найдите все значения A такие, что график функции 
касается графика функции 
и 
где 
Касание графиков 
и 
эквивалентно тому, что уравнение 
имеет ровно одно решение. Получаем 
и 
означает, что уравнение 
имеет единственное решение. Это уравнение равносильно следующим: 
и 
найдена константа 
и других продвижений в этом случае нет — 3 балла за этот случай.Даны две линейные функции f(x) и g(x) такие, что графики и 
—
касается графика функции 
Найдите все значения A такие, что график функции
касается графика функции
где 
эквивалентно тому, что уравнение 
имеет ровно одно решение. Получаем 
—Даны две линейные функции f(x) и g(x) такие, что графики 
и 
— параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции касается графика функции 
Найдите все значения A такие, что график функции 
касается графика функции 
эквивалентно тому, что уравнение 
имеет ровно одно решение. Получаем 
Дана система уравнений
а) Изобразите на плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы, и найдите площадь полученной фигуры.
б) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно три решения.
выполняется тогда и только тогда, когда числа a, b и c неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств 
площадь которого равна 60. 
Система может иметь ровно три решения только в одном случае: когда окружность, задаваемая вторым уравнением, описана около треугольника EGN. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника — это середина гипотенузы, а её радиус равен половине гипотенузы, откуда получаем условия 
и 
Подстановкой убеждаемся, что оба они удовлетворяют первому уравнению.
б) 
Дана система уравнений
а) Изобразите на плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы, и найдите площадь полученной фигуры.
б) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно три решения.
площадь которого равна 96. Второе уравнение исходной системы задаёт окружность (или точку при 
Система может иметь ровно три решения только в одном случае: когда окружность, задаваемая вторым уравнением, описана около треугольника EGN. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника — это середина гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, откуда получаем условия 
и 
Подстановкой убеждаемся, что оба они удовлетворяют первому уравнению.
пересекает ось Ox в точках A и B, а ось Oy в точке C. Найдите сумму всех значений параметра p, при которых центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на оси Ox.
и 
корни квадратного трехчлена 
график которого пересекает ось Ox в точках A и B; 
Принадлежность центра окружности, описанной около треугольника ABC, оси Ox эквивалентна тому, что угол ACB — прямой. Нетрудно найти, что угловой коэффициент прямой AC равен 
а угловой коэффициент прямой 
равен 
Перпендикулярность этих прямых равносильна условию 
то 
приобрет ает вид, 
откуда 
Кривая, заданная уравнением 
пересекает ось Ox в точках A и B, а ось Oy в точке C. Найдите сумму всех значений параметра p, при которых центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на оси Ox.
Числовая характеристика x некоторого теплоэнергетического процесса является корнем уравнения 
Оцените снизу абсолютную величину этого корня и покажите, что полученную оценку улучшить нельзя.
заметив, что эта функция нечетная, обращается в 0 ровно в трех точках 
(1; −2) является точкой минимума, а (−1; 2) является точкой максимума, функция неограниченно возрастает при 
и неограниченно убывает при 
Таким образом, число корней равно: 3, если 
2, если 
1, если 
Единственный корень есть в точности при 
Из графика видно, что 
Можно получить и более точную оценку, рассматривая неравенства 
при 
и 
при 
Замечая, что 
при 
а также 
при 
находим 
Допустимо также геометрическое решение, основанное на том наблюдении, что предельный (промежуточной) случай двух корней соответствует ситуации, когда одним из корней является точка экстремума. 
(r2 = a). 
: окружность касается прямой y = 4 − x, при этом значении a система имеет одно решение; 
: окружность касается прямой y = x + 2, при этом значении a система имеет 3 различных решения (две точки пересечения с прямой y = 4 − x и одну точку пересечения с прямой y = x + 2);
при 
при 
и радиусом 
Нечётное число решений может быть в одном из трёх случаев: 
т. е.
при этом значении a система имеет одно решение; 
при этом значении a система имеет 3 различных решения (две точки пересечения с прямой y = x + 1 и одну точку пересечения с прямой y = – x − 5; 
пересечения прямых y = – x − 5 и y = x + 1 (это будет при a = 100, т. е. r = 10), при этом значении a система имеет 3 различных решения (точка C и ещё по одной точке пересечения окружности с каждой из прямых). Ключевые положения окружностей изображены на рисунке. Значения a = 2 
a = 98 
и a = 100 (r = 10) можно найти различными как геометрическими, так и алгебраическими способами, которые хорошо известны преподавателям.
б) При каких значениях параметра a площадь фигуры будет наибольшей?
и 
Найдём их точки пересечения, для чего решим уравнение 
или 
Следовательно, система имеет решения при 
(см. левый рис.).
и 
(см. правый рис.).
Найдём координаты точки А: для этого решим систему: 
то есть при 
б) 
представляется семейством горизонтальных прямых (красные линии), а уравнения 
полуокружностью с центром в точке (−1; 0) и радиусом 
Радиус окружности выбираем так, чтобы полуокружность касалась четвертой линии выше нуля. Откуда 
имеет хотя бы одно положительное решение?
(см. рис.). При 
неравенство имеет вид 
при 
имеет хотя бы одно отрицательное решение?
(см. рис.). При 
неравенство имеет вид 
при 
вид 
В заштрихованной области точки с положительной абсциссой существуют при 
уравнение примет вид 
и 
красные линии соответствуют случаям двух положительных решений. 
и 
образуют на числовой оси отрезок, длина которого равна единице.
и 
и 
соответственно. Других значений нет, так как внутри полосы между прямыми AD и BC все отрезки длины 1, при 
решение образует отрезок больше одного, вне указанного промежутка — меньше одного.
удовлетворяет условию задачи. При 
делаем замену переменной 
Для каждого t существует единственный 
тогда
и 
Решим уравнение по частям.
то 
то 
то
и точки, не принадлежащие прямым 
и 
Заметим, что точка (−7; −2) принадлежит как прямой 
имеем решения 
и 
Решим уравнение по частям:
то
то
то 
и точки, не принадлежащие прямым 
и 
Заметим, что точка (−4; −2) принадлежит как прямой 
Решим уравнение по частям:
то
то
то
и точки, не принадлежащие прямым 
Прямые, параллельные оси Ox, пересекают отмеченные кривые ровно в двух точках при 
имеем решения 
имеем решения 