Всего: 102 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–102
Добавить в вариант
Укажите все значения a, при которых уравнение
имеет ровно два различных решения, и решите его при каждом a.
Запишем ОД3: 
и 
Решим уравнение по частям:
1)
2)
Раскроем модули у второго пункта:
а) если 
то
б) если 
то
в) если 
то
В системе координат xOa построим графики полученных функций. Отметим ОД3, это полуплоскость 
и точки, не принадлежащие прямым 
Прямые, параллельные оси Ox, пересекают отмеченные кривые ровно в двух точках при
Ответ:
— при 
имеем решения 
— при 
имеем решения 
— при имеем решения
— при имеем решения
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение имеет только одно решение
С помощью графического представления левой и правой частей уравнения на плоскости y(x) заметим, что левая часть — линейная функция с двумя изломами при 
правая часть — горизонтальные прямые. Тогда решений либо нет, либо их бесконечно много (там, где участок между двумя изломами горизонтален), либо их два. Чтобы могло существовать одно решение, точки излома должны совпадать и правая часть при этом должна быть равна нулю. Это соответствует значению параметра 
Ответ:
На плоскости xOy укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых, заданных уравнением
Представим уравнение как линейное относительно параметра a:
Если это уравнение не будет иметь решений при любом а, мы найдем те точки (x; у), через которые не проходит ни одна из кривых
или
получаем окружность 
без точек (0; 1) и (4; 3).
Ответ: без точек (0; 1) и (4; 3).
без точек (0; 1) и (4; 3).Укажите все значения a, при которых система уравнений
имеет единственное решение, и найдите это решение при каждом a.
Рассмотрим второе уравнение системы
Следовательно,
Выясним, при каких значениях параметра a уравнение
имеет единственное решение, если 
1) Дискриминант уравнения равен 
тогда 
При 
корень 
не подходит; при 
корень 
не подходит.
2) Выясним, при каких a точки 
являются решениями уравнения (*). Проверяем:
а) 
не является решением ни при каком a;
б) является единственным решением уравнения (*) при 
в) является решением (*) при 
Поскольку при подстановке в уравнение (*) имеем 
отсюда 
Однако, при 
удовлетворяющее поставленным условиям. Следовательно, при система имеет единственное решение 
и 
3) Если дискриминант уравнения (*) больше нуля, то уравнение имеет два различных решения, но при условии 
где
один корень будет посторонним, а один будет удовлетворять неравенству 
Имеем 
приходим к неравенству 
и
Если 
то
Если 
то
4) Проверим случаи, когда 
и 
Первое равенство выполняется при 
уравнение (*) не имеет решений, удовлетворяющих поставленным условиям. Второе равенство справедливо при 
В этом случае уравнение (*) имеет 
и 
которые оба подходят.
Ответ:
— при 
— при 
— при 
— при
— при
— при
Укажите все значения a, при которых система уравнений
имеет два различных решения решение, и найдите это решение при каждом a.
Рассмотрим второе уравнение системы
Следовательно,
Выясним, при каких значениях параметра a уравнение
имеет два различных решения, если 
и 
1) Выясним, при каких a точки 
являются решениями уравнения (*). Проверяем:
а) 
не является решением ни при каком a;
б) 
является единственным решением уравнения (*) при 
поскольку 
в) 
является решением (*) при
Поскольку при подстановке в уравнение (*) имеем
При уравнение (*) имеет второе решение 
удовлетворяющее поставленным условиям. Следовательно, при система имеет единственное решение.
2) Пусть 
и 
При этом уравнение (*) будет иметь два различных решения, удовлетворяющих условию если 
то 
и 
где
Имеем 
и 
приходим к системе неравенств
Ответ: при 
два решения 
два решения Найдите все значения параметра а, при которых система
имеет единственное решение. В ответе укажите наименьшее среди всех полученных значение параметра a.
Построим графики функций:
а) 
б) 
—
Общие точки графиков есть только при 
— при этом только одно пересечение получаем в точке 
Ответ: −1,5.
Найдите все значения параметра а, при которых система
имеет единственное решение. В ответе укажите наименьшее среди всех полученных значение параметра a.
I способ. Решим данную систему уравнений графически. Построим графики функций:
а) 
б) 
—
Общих точки у квадрата и правой части первого графика при 
нет. С левой ветвью единственная общая точка (0; −1). При этом значение параметра a можно получить, подставив координаты общей точки во второе уравнение системы:
II способ. Рассмотрим 
при этом 
Заметим, что в данной задаче 
всегда, что следует из второго уравнения. Подставим Получим
что невозможно в силу отрицательности x.
Рассмотрим 
При этом
Подставив в первый модуль второго уравнения, получим
Числитель дроби всегда положителен, следовательно, дробь меньше нуля может быть только при 
Тогда
При этом 
подставив координаты точки во второе уравнение системы, находим параметр:
Ответ: 0,5.
Найдите все значения параметра а, при которых система
имеет единственное решение. В ответе укажите наименьшее среди всех полученных значение параметра а.
Решим данную систему уравнений графически. Построим графики функций
a) 
б) 
— квадрат со стороной, длина которого равна 1, центр движется по прямой 
Общих точки у квадрата и правой части первого графика при нет, так как в данной задаче 
всегда, что следует из второго уравнения. С левой ветвью при 
нет пересечений, Подставим 
при 
Получим
следовательно, при 
и 
получаем в виде решения целый отрезок.
При 
два пересечения, при 
единственная общая точка (0,5; −3). При этом значение параметра a можно получить, подставив координаты общей точки во второе уравнение системы:
Второе значение 2,5 не подходит, так как при этом будет 2 решения.
Ответ: 3,5.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет четыре различных решения. Найдите эти решения при каждом значении a.
Перепишем систему в виде
Первое уравнение системы — уравнение параболы с вершиной (−3; 2). График второго уравнения — смещённый график функции 
вершина которого перемещается в зависимости от параметра вдоль горизонтальной прямой 
На рисунке график функции 
изображён в предельных случаях, соответствующих трём различным решениям системы: (1) — левая ветвь графика модуля касается параболы; (2) — вершины графиков совпадают; (3) — правая ветвь модуля касается параболы. Если вершина графика модуля расположена между точками, соответствующими случаям (1) и (2) или (2) и (3), то графики будут иметь четыре точки пересечения и, следовательно, система будет иметь четыре решения.
В случае (2) 
Найдём значения параметра, соответствующие случаям (1) и (3).
Для случая (1) получим уравнение
При касании графиков дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю, при пересечении в двух точках больше нуля. Значит,
тогда 
Выразим корни через параметр для положительного дискриминанта:
Для случая (3) получим уравнение:
где
тогда
Таким образом, система имеет 4 решения при
Ответ: при 
получаем 
и 
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 20 | Полное обоснованное решение. |
| 15 | Ответ по параметру отличается от правильного одной точкой, решения выписаны; или верно найдены значения параметра, но не указаны сами решения. |
| 10 | Правильно выполнено больше половины решения, но оно не завершено; или из-за арифметической ошибки получен неправильный ответ. |
| 0 | В остальных случаях — 0 баллов. Только правильный ответ без решения. |
получаем и Определить количество решений системы
в зависимости от параметра a.
Построим графики функций, входящих в систему, в одной системе координат. Раскроем модуль в первом уравнении.
График этой функции состоит из частей двух парабол, соединяющихся в точке с координатами (−1; 0). Второе уравнение уравнение пучка прямых с переменным угловым коэффициентом, проходящих через точку М(3; 6) (см. рис.).
Вертикальная прямая, проходящая через точку M, имеет с графиком (1) только одну общую точку. Будем поворачивать прямую вокруг точки М против часовой стрелки. В положениях между вертикальным и касанием в точке А прямая пересечёт график в трёх различных точках (два раза направленную вниз правую ветвь и один раз направленную вверх левую). Найдём угловой коэффициент, соответствующий точке касания А. Составим уравнение
где
тогда 
Значение 
соответствует касательной MA, 
соответствует другой касательной МВ. Определим, при каком значении параметра график проходит через точку С(−1; 0), тогда 
или 
С помощью проведённого исследования и графика запишем ответ.
Ответ:
— при 
три решения;
— при два решения;
— при 
одно решение;
— при два решения;
— при 
три решения;
— при 
два решения;
— при 
одно решение.
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 20 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 15 | Ход решения верный. Ответ незначительно отличается от правильного из-за арифметической ошибки. |
| 10 | При аналитическом решении рассмотрены обе системы, но результатов объединения нет. |
| 5 | Решение начато в правильном направлении (например, построены графики и задача сведена к определению количества точек пересечения). Однако дальнейшее решение неверно или не завершено. |
| 0 | Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям. |
— при три решения;
— при два решения;
— при одно решение;
— при два решения;
— при три решения;
— при два решения;
— при одно решение.
Найти все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств
имеет хотя бы одно решение, и указать решения системы для каждого значения a.
Преобразуем систему к виду
и начертим в одной системе координат в осях 
графики окружности и двух прямых 
и 
(см. рисунок).
Заштрихованная область удовлетворяет всем неравенствам системы. Точка
—
то есть 
Из рисунка видно, что 
соответствует хотя бы одно значение x, то есть при этих значениях параметра существует хотя бы одно решение. Чтобы выписать сами решения, найдём ещё координаты точек А и С пересечения окружности с прямыми. Подставим вместо 
в уравнение окружности 
получим уравнение
имеющее корни 
и 
Таким образом, А(0; 2). Аналогично находятся координаты точки С, то есть
Точка С имеет координаты
Выразим x через a из уравнения окружности:
Теперь с помощью проделанного исследования можно по графику записать ответ.
Ответ:
— при 
—
— при 
получаем 
— при 
получаем 
и 
— при 
получаем 
— при 
получаем 
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 15 | Полное обоснованное решение. |
| 13 | Одна — две неправильно поставленные скобки (например, интервал вместо отрезка при выписывании решений). |
| 10 | Графики построены правильно, ход решения верный. Ответ незначительно отличается от правильного из-за арифметической ошибки при нахождении координат одной из точек пересечения графиков. Или небольшие ошибки (описки) при выписке решений. |
| 5 | Правильно найдены только значения параметра, при которых система имеет хотя бы одно решение. Сами решения в зависимости от параметра не указаны или указаны неверно. |
— при —
— при получаем
— при получаем и
— при получаем
— при получаем
Найти все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств
имеет хотя бы одно решение, и указать решения системы для каждого значения a.
Преобразуем систему к виду
и начертим в одной системе координат в осях x, a графики ограничивающих искомую область линий: окружности
параболы 
и прямой 
(см. график).
Заштрихованная область на рисунке удовлетворяет всем условиям задачи. Найдём значения параметра, при которых графики пересекаются. Прямая и окружность:
соответствует тому, что вершина параболы лежит на окружности. Парабола и прямая:
отсюда 
и
Точка 
Система имеет хотя бы одно решение при 
Выразим x через a из уравнений окружности
и параболы 
Запишем ответ по графику.
Ответ: система имеет хотя бы одно решение при 
— при получаем 
— при 
получаем 
— при 
получаем 
— при 
получаем 
— при 
получаем 
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 15 | Полное обоснованное решение. |
| 13 | Одна — две неправильно поставленные скобки (например, интервал вместо отрезка при выписывании решений). |
| 10 | Графики построены правильно, ход решения верный. Ответ незначительно отличается от правильного из-за арифметической ошибки при нахождении координат одной из точек пересечения графиков. Или небольшие ошибки (описки) при выписке решений. |
| 5 | Правильно найдены только значения параметра, при которых система имеет хотя бы одно решение. Сами решения в зависимости от параметра не указаны или указаны неверно. |
— при получаем
— при получаем
— при получаем
— при получаем
— при получаем
Определите количество решений уравнения 
в зависимости от значений параметра a.
Рассмотрим графическое решение задачи. Выразим a через х и построим график соответствия в осях (x; a) (данное соответствие не является функциональным). Раскроем модуль:
1) если 
то
Построим вертикальную прямую и луч с началом в точке с координатами (0; 2,5) (см. рисунок);
2) если то
это квадратный трёхчлен, график — часть параболы, соответствующая Построим его в тех же осях (см. рисунок). Координаты вершины параболы (−2; 4,5).
Графики соединяются в точке (0; 2,5). 
в точке с координатами (1; 3). Количество решений уравнения при каждом значении параметра соответствует количеству точек пересечения горизонтальной прямой 
и графика построенного соответствия. По графику выпишем ответ.
Ответ:
— при 
— два решения;
— при 
—
— при 
—
— при 
— три решения;
— при 
—
— при —
— при 
—
| Содержание критерия | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 20 |
| Ответ отличается от правильного одной — двумя точками (крайними или отдельными). | 15 |
| Ученик не заметил, что некоторые значения переменной являются решениями при любом значении параметра, остальное верно или получено только больше половины правильных результатов по какой-то причине (например, вершина параболы неправильно найдена) при правильном ходе решения. | 10 |
| Решение начато в правильном направлении (раскрыт модуль, делаются попытки исследования количества решений каждого уравнения), но не завершено или ответ неверен. | 5 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 10 |
| Максимальный балл | 20 |
— при — два решения;
— при —
— при —
— при — три решения;
— при —
— при —
— при —
Найдите все значения параметра b, при котором для любого значения параметра 
неравенство
не выполняется хотя бы для одного 
Сделаем замену
при 
Получаем
Выясним, при каких значениях a и b неравенство
выполняется для любого Рассмотрим функцию
Ее графиком является парабола с ветвями, направленными вверх, вершиной в точке с абсциссой 
Составим системы:
Построим графики в соответствии номеру системы:
На координатной плоскости Oаb изобразим множество точек 
удовлетворяющих условиям 1−3. Точки, не удовлетворяющие условиям 1−3, это точки, для которых неравенство
выполняется хотя бы для одного Точки пересечения гиперболы 
и прямой 
находим, решая уравнение 
Получаем точки 
Окружность 
пересекается с прямой по тем же точкам (можно проверить подстановкой). Аналогичные рассуждения проводим для второй окружности и прямой. В итоге, точки, для которых неравенство
не выполняется хотя бы для одного 
образуют замкнутую область, граница которой состоит из графиков двух окружностей и гиперболы, граница включается. Для решения задачи необходимо найти такие значения b, при которых точки 
попадают в получившуюся область для любых 
Такие значения b образуют отрезок 
Нижнюю границу b1 находим, подставляя в уравнение гиперболы 
Имеем 
Верхнюю границу b2 находим, подставляя в уравнение окружности 
значение 
Имеем 
Ответ: [−1; 4].
Найти значения k, при которых вершина параболы 
лежит во второй четверти. В ответ записать наименьшее значение k.
Координаты вершины 
Так как во II четверти 
и 
отсюда 
то есть 
Парабола имеет ветви вниз, значит, чтобы 
уравнение 
должно иметь корни
Корни существуют, если
учитывая 
получим 
Ответ: −1.
Найти значения k, при которых вершина параболы 
лежит в четвертой четверти. В ответ записать наибольшее целое значение k.
Координаты вершины 
Так как во IV четверти 
и 
отсюда 
или 
Парабола имеет ветви вниз, значит, чтобы 
уравнение 
не должно иметь корней, то есть
Корни не существуют, если 
следовательно, 
учитывая 
получим 
Ответ: 2.
Найдите все значения параметра b, при котором для любого значения параметра 
неравенство
выполняется при каждом 
Сделаем замену
Получаем
Рассмотрим функцию
Ее графиком является парабола с ветвями, направленными вверх, вершиной в точке с абсциссой 
Выясним, при каких значениях a и b неравенство 
выполняется для любого Представим систему и и график к ней (верхний рис.):
На координатной плоскости Oab изобразим множество точек удовлетворяющих этим условиям. Получаем пересечение двух кругов радиуса 5 без границы. Для решения задачи необходимо найти такие значения b, при которых точки попадают в получившуюся область для любых 
Такие значения b образуют интервал 
Нижнюю границу b1 находим, подставляя 
в уравнение окружности
Имеем 
Верхнюю границу 
находим, подставляя в уравнение окружности
значение 
Имеем 
Ответ: 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
Имеет ровно два различных, действительных корня.
(Р. Алишев)
Решать задачу будем графическим методом. Заменим a на y и нарисуем множество решений уравнения в плоскости Oxy. Исходное уравнение эквивалентно следующей системе
График первого уравнения это парабола с ветвями направленными вверх, а график второго уравнения — парабола повернутая на 90° (см. рис.). Причем при замене 
первая парабола переходит во вторую и наоборот. Следовательно, они симметричны относительно прямой 
а значит две точки пересечения этих парабол лежат на этой прямой.
Перейдем теперь к решению задачи. Так как исходное уравнение должно иметь ровно два различных решения, то пря мая 
должна пересекать обе наши параболы ровно в двух точках. Как видно из рисунка такое возможно только в пяти точках: когда прямая проходит через вершину первой параболы или когда пря мая проходит через одну из точек пересечения парабол. Разберем оба этих случая:
1) прямая проходит через вершину параболы. Вершина имеет координаты
Тогда получаем прямую 
2) прямая проходит через одну из точек пересечения парабол. Точки пересечения находятся из системы
Причем две из них можно найти из условия то есть из уравнения
Поделим многочлен четвертой степени на квадратный и получим
Теперь мы легко можем найти все четыре точки: 
и 
Итак, мы получаем пять возможных значений параметра
Ответ:
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно два различных действительных корня.
(Р. Алишев)
Решать задачу будем графическим методом. Заменим a на y и нарисуем множество решений уравнения в плоскости Oxy.
Исходное уравнение эквивалентно следующей системе
Первое уравнение задает полуокружность с центром в точке (3; 2), а второе — гиперболу с двумя асимптотами 
и 
(см. рисунок). К тому же не стоит забывать про ОДЗ:
В итоге получаем, что исходное уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда прямая пересекает полуокружность и гиперболу ровно в двух точках в полосе 
Из графика видно, что возможны три случая: прямая касается полуокружности (то есть проходит через точку D); прямая проходит через одну из точек пересечения полуокружности с гиперболой (то есть через точку A или B); прямая лежит строго выше прямой проходящей через точку C и не строго ниже прямой 
Рассмотрим все эти три случая.
1) Найдем y координату точки D:
2) Найдем y координату точек A и B:
Раскладываем первое уравнение на множители или решаем как биквадратное
3) Найдем y координату точки C:
Итак, мы получаем такие значения параметра
Ответ: 
Существует ли такая гипербола, задаваемая уравнением вида 
что в первой координатной четверти (
) под ней лежат ровно 82 точки с целочисленными координатами?
По смыслу задачи достаточно рассмотреть случай 
Если 
число точек в первой координатной четверти 
под графиком функции 
равно
(сумма конечная, так как с того момента, как знаменатель окажется больше числителя, целая часть станет равна нулю). Функция S(a) является неубывающей, постоянной на каждом полуинтервале 
при 
при 
Таким образом, функция S(a) значения 82 не принимает.
Ответ: нет, не существует.
Комментарий.
Задача об асимптотическом поведении при больших a числа точек первой координатной четверти 
с целочисленными координатами под графиком функции называется проблемой делителей Дирихле. Если обозначить количество натуральных делителей числа n через 
Например, 
то это число точек равно
(здесь в сумму включено также число точек на самой гиперболе, если 
С ростом a сумма D(a) растет примерно как 
(скажем, 
а 
Первый из известных существенных результатов в этой области получил в середине XIX века Дирихле. Отметим, что задача уточнения остаточного члена в асимптотической формуле для D(a) актуальна и в наши дни.
Наверх