Всего: 187 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Дан параллелограмм ABCD. Описанная окружность ω треугольника ABC второй раз пересекает сторону AD и продолжение стороны DC в точках P и Q соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника PDQ лежит на ω.
и точка B лежит на серединном перпендикуляре к PQ. Обозначим точку его пересечения с окружностью ω через О. Тогда точки B и O диаметрально противоположны и, значит, 
В силу равнобочности трапеции ABCP и равенства противоположных сторон параллелограмма ABCD, имеем 
Поэтому C лежит на серединном перпендикуляре к PD. Но CO перпендикулярно BC, а, значит, и AD. Следовательно, O также лежит на серединном перпендикуляре к PD. Итак, точка O лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам PQ 
А поскольку еще и 
прямые AP и OD перпендикулярны. Кроме того, DO — биссектриса угла ADC. Тогда DO и DE перпендикулярны как биссектрисы внешнего и внутреннего углов. Пусть Q — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда 
и, значит, OQ — высота равнобедренного треугольника 
с углом 120°. Тогда 
и, значит, 
C другой стороны OQ — средняя линия треугольника BDF. Поэтому 
и 
Поскольку треугольник ODE прямоугольный, F — середина его гипотенузы. Таким образом, 
Трапеция ABCD (сторона AB параллельна стороне CD) вписана в окружность ω. На луче DC за точкой C отмечена такая
и 
Поскольку треугольник BCE равнобедренный, 
Таким образом, 
и точка A лежит на серединном перпендикуляре к CF. Обозначим точку его пересечения с окружностью ω через O. Тогда точки A и O диаметрально противоположны и, значит, 
Поскольку треугольник BCE равнобедренный, точка B лежит на серединном перпендикуляре к 
Но 
перпендикулярно 
а, значит, и CE. Следовательно, O также лежит на серединном перпендикуляре к CE. Итак, точка O лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам CE и CF. Стало быть, она является центром описанной окружности треугольника CEF.Окружность 
описана вокруг остроугольного треугольника ABC. Касательная к окружности ω в точке C пересекает прямую AB в точке K. Точка M — середина отрезка CK. Прямая BM вторично пересекает окружность в точке L, а прямая KL вторично пересекает окружность ω в точке N. Докажите, что прямые AN и CK параллельны.
и, значит, треугольники MCB и MLC подобны. Поэтому 
и 
дают в сумме 180°, поэтому прямые AN и CK параллельны.Четырехугольник ABCD вписан в окружность. В точке C к этой окружности проведена касательная l. Окружность ω проходит через точки A и B и касается прямой l в точке P. Прямая PB пересекает отрезок CD в точке Q. Найдите отношение BC : CQ, если известно, что BD — касательная к окружности ω.
При меняя еще два раза теорему о касательной и хорде, мы получим также равенства 
и 
Тогда 
треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AIC пересекает 
BM с вписанной окружностью за 
Тогда 
—
—
Поскольку точки M и N по построению лежат вне треугольника ABC, а точки 
и 
внутри, точки M и N лежат на лучах 
и 
дальше, чем 
1.3 Пусть M — середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC (выбираем ту дугу, которая не содержит точку C),
Развернуть
Но как мы доказали в пункте (1), что PQ и IZ — перпендикулярны, значит, прямая PQ перпендикулярна BI. Но MN тоже перпендикулярна BI, так как треугольники MBI и NBI равнобедренные (с общим 
то получаем, что I лежит на серпере к AC. Отсюда следует равнобедренность.Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC. На лучах AB и AC выбраны соответственно такие точки K и L, что четырехугольник KBCL вписанный. Точка H — основание высоты, опущенной из вершины A на сторону BC. Докажите, что если KH = LH, то H — центр описанной окружности треугольника AKL.
и 
точки H и O лежат на серединном перпендикуляре к отрезку KL. Стало быть, точки H, M и O лежат на одной прямой. Так как четырехугольник KBCL вписанный, 
и 
Отсюда, в частности, следует, что 
в противном случае 
Таким образом, точки O и H лежат на пересечении двух различных прямых и, значит, 
В треугольнике ABC углы A и B равны 45° и 30° соответственно, CM — медиана. Окружности, вписанные в треугольники ACM и BCM касаются отрезка CM в точках D и E. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если длина отрезка DE равна 
и 
Следовательно, 
и 
Тогда 
По теореме синусов имеем 
то есть 
Таким образом, 
и 
Окружность с центром O описана вокруг четырехугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями. Точки P и Q — середины дуг ABC и ADC этой окружности. Прямая BO пересекает отрезок CQ в точке R. На стороне AB выбрана такая
Поэтому достаточно доказать равенство 
или, что тоже самое, 
По условию четырехугольник ABCQ вписанный и прямые AQ и RS параллельны. Следовательно, четырехугольник SBCR также вписанный. Тогда 
Точка M — середина стороны AB неравнобедренного треугольника ABC, а точка O — центр описанной вокруг него окружности. Окружность с диаметром CM вторично пересекает стороны AC и BC в точках P и R соответственно. Точка Q — середина отрезка PR. Докажите, что прямые CO и MQ параллельны.
и прямые MP и OK параллельны. Тогда 
получаем 
и, значит, точка Q′ — середина отрезка PR, то есть она совпадает с точкой Q.
где
?
Если 
острый, то точки O и T лежат внутри угла 
откуда этот угол тупой, и он не может быть равен острому углу 
Аналогично действуя, заключаем, что 
В этом случае 
Поэтому 
Докажите, что 
счетом углов находим, что AD биссектриса 
Опустим перпендикуляр DH из точки D на прямую AB. Тогда 
2.2 На описанной окружности треугольника ABC отметили точки X и Y — середины дуг AC и AB соответственно. Отрезок XY и сторона треугольника AC пересекаются в точке Z. Докажите, что 
Развернуть
Из этого следует, что XY — общая ось симметрии двух равнобедренных треугольников, т. е., действительно, серпер AI. Вместо трилистника можно, разумеется, воспользоваться более школьными соображениями (впрочем, его несложно и вывести случайно).
По неравенству треугольника 
Осталось доказать, что 
Проделываем какие-то рассуждения (см. выше) и понимаем, что 
а так же, по условию, 
Следовательно, 
то есть, 
При этом
2.4 Дан произвольный остроугольный треугольник ABC. X — какая-то точка внутри треугольника. Описанные окружности треугольников AOX, BOX и COX пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A1, B1 и C1 соответственно. Докажите, что X является центром вписанной окружности ABC тогда и только тогда, когда X — ортоцентр A1, B1 и C1.
Развернуть
то 
в другую всё абсолютно аналогично, кроме самых последних переходов, которые делаются ещё проще, чем в этом доказательстве.
параллельны прямой OX. Действительно, например, четырёхугольник BB1XO вписанный, поэтому 
Но на эту же дугу в описанной окружности ABC опирается угол 
и точку X — это в точности первый пункт, где мы уже понимали перпендикулярность соответствующих прямых (т. е. как раз то, что X является точкой пересечения высот треугольника A1B1C1.
и 
и 
следовательно, 
В остроугольном треугольнике АВС 
На стороне АС выбирается точка К. Около треугольников АВК и СВК описываются окружности с центрами O1 и O2 соответственно. Найдите радиус окружности, описной около треугольника АВС, если наименьшая из возможных длина отрезка О1О2 = 2 см.
тогда наименьшая возможная длина O1O2 = 0,5AC, т. е. O1O2 — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, AC = 4. Тогда по следствию из теоремы синусов:
и 
Тогда
и 
соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CBE, где E — точка пересечения диагоналей трапеции.
и 
следовательно
