Всего: 187 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
Найдите длину той хорды окружности, которая делит угол CAB пополам.
треугольники ACE и BCD правильные. При повороте на 60° вокруг точки C треугольник ABC переходит в треугольник EDC. Поэтому 
Внутри круга, радиус которого равен 13, дана точка M, отстоящая от центра круга на 5. Через точку M проведена хорда AB, длина которой равна 25. Определить длины отрезков, на которые хорда AB делится точкой M. В ответ записать отношение меньшего отрезка к большему.
см,
и 
Необходимо найти: AM и MB.
следовательно, 
и 
Тогда
Отношение меньшего отрезка к большему равно 
Точка M лежит на описанной около правильного треугольника ABC окружности и не совпадает с его вершинами. Докажите, что сумма расстояний от точки M до прилегающих вершин треугольника равна расстоянию от точки M до третей его вершины: AM + CM = BM.
R —
Требуется доказать, что 
Имеем:
Имеем: 
тогда
(точка M — не середина дуги AMC), то 
то есть 
(точка M середина дуги AMC), то BM — диаметр, 
и из 
имеем: 
и 
Треугольники AO2K и AHC подобны, следовательно, 
и 
точка OR — центр описанной окружности и точка O2 — центр вписанной окружности.
но 
так как центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Тогда 
откуда 
Сумма 
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка K так, что AK = 5, BK = 16, KC = 2. Около треугольника ABK описана окружность. Через точку C и середину D стороны AB проведена прямая, которая пересекает окружность в точке P, причем CP > CD. Найдите DP, если 
то 
(N — точка пересечения прямой CD с окружностью, 
Четырехугольник ANBP вписан в окружность 
и 
По свойствам касательных и секущих к окружности имеем 
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка K так, что AK = 8, BK = 24, KC = 3. Около треугольника ABK описана окружность. Через точку C и середину D стороны AB проведена прямая, которая пересекает окружность в точке P, причем CP > CD. Найдите DP, если
По свойствам касательных и секущих к окружности имеем 
точка B находится между точками M и D. Тогда, так как 
BH — высота треугольника, проведенная к основанию AC, 
и 
треугольник AOB равносторонний, 
Поскольку 
то угол 
Вписанный в окружность угол BDC опирается на ту же дугу, что и угол BAC, следовательно, 
Пусть 
По теореме косинусов для треугольника BDC имеем 
Точка D лежит на окружности радиуса 
описанной около равнобедренного треугольника ABC. Высота этого треугольника, проведенная к основанию AC, равна 
Найдите площадь треугольника DBC, если DB = 8.
BH — высота треугольника, проведенная к основанию AC, 
и 
Поскольку 
AH — высота треугольника, проведенная к основанию BC, 
и 
треугольник AOB равносторонний, 
Поскольку 
то угол 
Вписанный в окружность угол BDC опирается на ту же дугу, что и угол BAC, следовательно, 
либо BDC опирается на дополнительную дугу к той, на которую опирается угол BAC, следовательно, 
Пусть 
Точка D лежит на окружности радиуса описанной около равнобедренного треугольника ABC. Высота этого треугольника, проведенная к основанию BC, равна Найдите площадь треугольника DBC, если DB = 8 .
AH — высота треугольника, проведенная к основанию BC, 
треугольник AOB равносторонний, 
Поскольку 
то угол 
Вписанный в окружность угол BDC опирается либо на ту же дугу, что и угол BAC, и 
либо BDC опирается на дополнительную дугу к той, на которую опирается угол BAC, следовательно, 
и 
Найдите длину стороны CD.
и 
поэтому точки O и B лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AD. Так как AC — диаметр, то 
В итоге получаем, что радиус OB параллелен хорде DC. Следовательно, треугольник OBP подобен треугольнику CDP. В итоге получаем 
Дан вписанный четырехугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке E, а лучи DA и CB в точке F. Луч BA пересекает описанную вокруг треугольника DEF окружность в точке L, а луч BC пересекает ту же окружность в точке K. Длина отрезка LK равна 5, 
Найти радиус окружности, описанной около треугольника EFK.
равнобедренный. 
Окружность проходит через вершины A и C равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) и пересекает стороны AB и BC в точках M и N, соответственно. MK, хорда этой окружности, равная по длине 
содержит точку H, лежащую на AC и являющуюся основанием высоты треугольника ABC. Прямая, проходящая через точку C и перпендикулярная BC, пересекает прямую MN в точке L. Найти радиус окружности, описанной около треугольника MKL, если 
получаем подобие треугольника KCL и треугольника BHK следовательно, 
и 
подобен 
или 
подобен 
Дан треугольник ABC, вписанный в окружность ω. Точка М — основание перпендикуляра из точки В на прямую AC, точка N — основание перпендикуляра из точки А на касательную к ω, проведенную через точку В. Докажите, что отрезки MN и BC параллельны.
(по свойству вписанных углов). Далее, угол между касательной через точку B и хордой BC также равен углу BAC (по свойству угла между касательной и хордой). Таким образом, отрезки NM и BC имеют одинаковые углы с касательной и поэтому параллельны.
Найдите периметр треугольника ABC, если 
Тогда, получаем 
взята точка P (точка P лежит на дуге AB, не содержащей точку C). Точка D — основание перпендикуляра опущенного из точки C на прямую BP. Найдите длину отрезка PD, если 
и 
Пусть точка C′ — середина дуги AB, не содержащей точку C (точка C диаметрально противоположна точке C′). Следовательно, точка P лежит на дуге 
не содержащей точку B. Получаем, что угол CBP меньше угла CBC′ и равен 90° и поэтому высота CD падает на отрезок BP. Аналогично угол CAP больше угла CAC′ и равен 90°, поэтому высота CD′ падает на продолжение AP за точку A. 
Так же известно, что 
следовательно, треугольники CBD и CAD′ (по гипотенузе и острому углу). Получаем, что 
и 
Треугольники CPD и CPD′ также равны по катету 
и общей гипотенузе CP. Значит, 
В итоге получаем 
Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает прямую BC в точке K. На перпендикуляре к отрезку BC в точке B взята точка L такая, что AL = BL. НА перпендикуляре к отрезку BC в точке C взята точка M такая, что AM = CM. Докажите, что K, L и M лежат на одной прямой.
(М. Попов)
и 
то L — точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне AB и перпендикуляра к стороне BC в точке B. Аналогично M — точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне AC и перпендикуляра к стороне BC в точке C. Пусть B1 и C1 — середины сторон AC и AB соответственно. Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC (точка пересечения серединных перпендикуляров).
Тогда получаем такие соотношения 
Тогда 
и 
Применяя теорему косинусов к треугольникам AOM, BOM и COM, получаем 
постоянна и равна 6R2 независимо от положения точки M на окружности. Что и требовалось доказать.