Всего: 187 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Дан параллелограмм ABCD. Окружность 
с радиусом 17 описана вокруг треугольника AMB, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка MK равна 8. Найдите длины отрезков AD, BK и периметр треугольника EBM.
и 
соответственно. Тогда по теореме о вписанном угле 
Следовательно, ABCD — ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол AMB прямой и AB — диаметр окружности. Значит, 
(как стороны ромба). Хорды MK и BM равны (т. к. равны соответствующие им дуги), 
Тогда 
и
Продолжение высоты BH треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке D (точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC). Градусные меры дуг AD и CD, не содержащих точки B, равны 60° и 90° соответственно. Определите, в каком отношении отрезок BD делится стороной AC.
Но 
Продолжение высоты BH треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке D (точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC). Градусные меры дуг AD и CD, не содержащих точки B, равны 120° и 90° соответственно. Определите, в каком отношении отрезок BD делится стороной AC.
Тогда треугольник BHC — прямоугольный и равнобедренный, 
В треугольнике ABC угол при вершине A в два раза больше угла при вершине C. Через вершину B проведена касательная l к окружности 
описанной около треугольника ABC. Расстояния от точек A и C до этой касательной равны соответственно 4 и 9.
а) Найдите расстояние от точки A до прямой BC.
б) Найдите радиус окружности и длину стороны AB.
тогда 
По обобщённой теореме синусов находим, что 
и 
Отметим, что 
(иначе сумма углов треугольника больше 180°).
равен 
а угол между касательной и BC 
от точки A до касательной равно 
от точки C до касательной равно 
Torда 
и 
равно 
В треугольнике ABC угол при вершине A в два раза больше угла при вершине C. Через вершину B проведена касательная l к окружности описанной около треугольника ABC. Расстояния от точек A и C до этой касательной относятся как 9 : 25.
а) Найдите отношение расстояний от точки A до прямых l и BC.
б) Найдите расстояние от точки С до прямой l и радиус окружности 
Тогда 
и 
Расстояние от точки A до прямой 
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса 7. Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD пересекаются в точке Q. Известно, что треугольники ADP и QAB подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке).
а) Найдите AC.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD касаются отрезка AC в точках K и T соответственно, причём 
(точка T лежит между K и A). Найдите угол DAC и площадь четырёхугольника ABCD.
и 
либо 
и 
Второй случай невозможен, так 
—
т. е. 
Тогда остаётся первый случай и 
Но четырёхугольник ABCD вписан в окружность, а значит, 
откуда 
Следовательно, AC — диаметр окружности, 
касается его сторон AB и BC соответственно в точках M и N, а окружность, вписанная в треугольник ACD, касается его сторон AD и CD соответственно в точках L и G. Заметим, что при дополнительном условии 
По свойству отрезков касательных к окружности 
то 
Площадь треугольника ACD равна 
и 
пусть 
По теореме Пифагора для треугольника ABC получаем 
и 
и площадь треугольника ABC равна 
Значит, площадь четырёхугольника ABCD равна 
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса 4. Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD пересекаются в точке Q. Известно, что треугольники ADP и QAB подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке).
а) Найдите AC.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD касаются отрезка AC в точках K и T соответственно, причём 
(точка T лежит между K и A). Найдите угол DAC и площадь четырёхугольника ABCD.
paвна 
и 
пусть 
получаем 
и 
и площадь треугольника 
Значит, площадь четырёхугольника ABCD равна 
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника NPQ с основанием NQ описана окружность 
Точка F — середина дуги PN, не содержащей точки Q. Известно, что расстояния от точки F до прямых PN и QN, равны соответственно 5 и 
Найдите радиус окружности и площадь треугольника NPQ.
FD — перпендикуляр, опущенный из точки F на прямую NQ, OJ — перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую FD. Обозначим радиус окружности через R, угол NPH через 
Тогда 
то 
и по теореме о внешнем угле треугольника 
Значит, 
то есть 
тогда 
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника FKT с основанием KT описана окружность Точка M — середина дуги FT, не содержащей точки K. Известно, что расстояния от точки M до прямых KT и FT, равны соответственно 
и 1. Найдите радиус окружности и площадь треугольника FKT.
MQ — перпендикуляр, опущенный из точки M на прямую KT, OJ — перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую MQ. Обозначим радиус окружности через R, угол TFH через 
то 
и по теореме о внешнем угле треугольника 
Значит, 
то есть 
тогда 
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника NPQ с основанием NQ описана окружность Расстояние от середины дуги PN, не содержащей точки Q, до стороны PN равно 4, а расстояние от середины дуги QN, не содержащей точки P, до стороны QN равно 0,4. Найдите радиус окружности и площадь треугольника NPQ.
и 
получаем, что 
или 
Подходит только 
Значит, 
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника ADE с основанием AD описана окружность Расстояние от середины дуги DE, не содержащей точки A, до стороны DE равно 5, а расстояние от середины дуги AD, не содержащей точки E, до стороны AD равно 
Найдите радиус окружности и площадь треугольника ADE.
или 
Подходит только 
Значит, 
Равнобедренный треугольник ABC с основанием BC вписан в окружность Хорды LM и PQ, параллельные прямой BC, пересекают сторону AB в точках D и T соответственно, и при этом 
Найдите радиус окружности и площадь треугольника ABC, если 
а центр O окружности расположен между прямыми LM и PQ.
Тогда 
Тогда 
Равнобедренный треугольник PQT с основанием PQ вписан в окружность Хорды AB и CD, параллельные прямой PQ, пересекают сторону QT в точках L и M соответственно, и при этом QL = LM = MT. Найдите радиус окружности и площадь треугольника PQT, если 
а центр O окружности расположен между прямыми AB и CD.
перпендикулярна хордам CD, AB, PQ и делит каждую из них пополам. Пусть точки N, H и E — середины CD, AB 
Тогда 
Тогда 
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Две окружности 
и 
равных радиусов с центрами O1 и O2 вписаны в углы ABC и ADC соответственно, при этом первая касается стороны BC в точке K, а вторая касается стороны AD в точке T.
а) Найдите радиус окружности 
если BK = 
DT = 
б) Пусть дополнительно известно, что точка O1 является центром окружности, описанной около треугольника BOC. Найдите угол BDC.
и 
являются биссектрисами углов ABC и ADC (центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла). Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма его противоположных углов ABC и ADC равна 180°, поэтому сумма их половин — углов 
и 
—
Тогда 
получаем: 
как радиусы окружности, описанной около треугольника 
поэтому высота 
этого треугольника также является его медианой. Точки O, O1 и K лежат на одной прямой (на серединном перпендикуляре к отрезку BC). Далее находим: 
и O могут лежать либо по одну сторону от прямой BC, либо по разные стороны от неё. 
Вместе с тем дуга 
должна быть меньше дуги 
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Две окружности и равных радиусов с центрами O1 и O2 вписаны в углы BAD и BCD соответственно, при этом первая касается стороны AD в точке K, а вторая касается стороны BC в точке T.
а) Найдите радиус окружности если AK = 2, CT = 8.
б) Пусть дополнительно известно, что точка O2 является центром окружности, описанной около треугольника BOC. Найдите угол BDC.
и 
являются биссектрисами углов BAD и BCD (центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла). Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма его противоположных углов BAD и BCD равна 
поэтому сумма их половин — углов 
и 
—
Пусть 
Тогда 
как радиусы окружности, описанной около треугольника ВOC, поэтому высота этого треугольника 
также является его медианой. Точки O, O2 и T лежат на одной прямой (на серединном перпендикуляре к отрезку BC). Далее находим: 
б) 
или 
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Две окружности и равных радиусов с центрами O1 и O2 вписаны в углы ABC и ADC соответственно, при этом первая касается стороны BC в точке K, а вторая касается стороны AD в точке T.
а) Найдите радиус окружности если 
б) Пусть дополнительно известно, что точка O2 является центром окружности, описанной около треугольника BOC. Найдите угол BDC.
Тогда 
получаем: 
Пусть H — основание этого перпендикуляра. Зафиксируем какой-нибудь треугольник ABC и обозначим через R вторую точку пересечения прямой PH с описанной окружностью треугольника PBC. Тогда степень точки H относительно этой окружности равна 
по свойству высоты в прямоугольном треугольнике. Следовательно, длина отрезка HR не зависит от выбора треугольника. Заметим к тому же, что точка H всегда лежит на отрезке BC, т. е. внутри описанной окружности PBC, а значит, точки R и P всегда будут лежать в разных полуплоскостях относительно прямой ℓ. 
должна пересекать прямую PH в точке, удаленной от P 
В окружность вписана замкнутая 100-звенная ломаная, никакие три звена которой не проходят через одну точку. Все ее углы тупые, и их сумма в градусах делится на 720. Докажите, что у этой ломаной нечетное число точек самопересечения.
(С. Иванов)
(поскольку по модулю 
Это интуитивно понятное утверждение можно доказать индукцией, подразбивая ломаную и следя за изменением чисел поворота.
четно. При 
для ломаной из условия задачи получаем требуемое: в самом деле, если вое углы вписанной ломаной тупые, то она всегда поворачивает в одном направлении, а тогда сумма углов поворота равна 
минус сумма углов, что кратно 
Поэтому число поворота чётно, а 
нечетно, чтд.
на 
Величина x уменьшится на 1, число ломаных изменится на 1, а сумма поворотов не изменится. Таким образом, четность величины y не изменится. Так мы сведём утверждение к случаю, когда ломаные не имеют точек пересечения, т. е. 
В неравнобедренном треугольнике ABC угол B равен 130°. Точка H — основание высоты из вершины B. На сторонах AB и BC нашлись точки D и E соответственно, такие что
и четырехугольник ADEC — вписанный. Найдите угол DHE.
(Д. Ширяев, C. Берлов)
Тогда 
(это центральный угол), и 
С другой стороны, 
поэтому точка O лежит на прямой BH. Кроме этого, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DE. Однако точка H также лежит на прямой BH и на серединном перпендикуляре к DE (так как по условию она равноудалена от D и E). Но две прямые пересекаются лишь в одной точке! (Эти прямые не совпадают, так как иначе серединный перпендикуляр к DE содержал бы точку B, и тогда треугольник BDE, а с ним и ABC, были бы равнобедренными.) Следовательно, 
—
равен 
поэтому 
Треугольник ABC вписан в окружность 
с центром O. Прямая AO вторично пересекает окружность в точке A′ . MB и MC — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые A′MB и A′MC пересекают окружность вторично в точках B′ и C′ , а также пересекают сторону BC в точках DB и DC соответственно. Описанные окружности треугольников CDBB′ и BDCC′ пересекаются в точках P и Q. Докажите, что точки O, P и Q лежат на одной прямой.
в A, и обозначим образ точки C при этом повороте через 
Пусть X — точка пересечения прямых 
и 
Из равенства дуг 
и 
легко следует равенство углов 
при этом повороте переходит в описанную окружность треугольника 
При этом точка O, очевидно, будет иметь одинаковые степени относительно этих двух окружностей.
в A и обозначив образ точки B через 
и точку пересечения 
через Y, мы получим, что точка O имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников 
и 
нам достаточно доказать, что точка O имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников 
и 
—
и 
—
—
также гармонический. Но тогда обозначив через S точку пересечения прямых 
