РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2351 Добавить в вариант

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC. На лучах AB и AC выбраны соответственно такие точки K и L, что четырехугольник KBCL вписанный. Точка H  — основание высоты, опущенной из вершины A на сторону BC. Докажите, что если KH = LH, то H  — центр описанной окружности треугольника AKL.

Спрятать решение

Решение.

Пусть M  — середина отрезка KL, а O  — центр описанной окружности треугольника AKL. Докажем, что точки O и H совпадают. Поскольку $K H=L H$ и $K O=L O,$ точки H и O лежат на серединном перпендикуляре к отрезку KL. Стало быть, точки H, M и O лежат на одной прямой. Так как четырехугольник KBCL вписанный, $\angle A B C=\angle A L K$ и $\angle A C B=\angle A K L.$ Отсюда, в частности, следует, что $A K не равно q A L,$ в противном случае

$\angle A C B=\angle A K L=\angle A L K=\angle A B C$

и треугольник ABC  — равнобедренный.

Центральный угол AOK в два раза больше вписанного угла ALK, поэтому

$\angle O A K=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle A O K=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A L K=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A B C=\angle H A B .$

Следовательно, точки A, O и H лежат на одной прямой, причем эта прямая не совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку KL, поскольку $A K не равно q A L.$ Таким образом, точки O и H лежат на пересечении двух различных прямых и, значит, $O=H.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Олимпиада СПБГУ, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности описанные, Методы геометрии. Вспомогательная окружность

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь