2.2 На описанной окружности треугольника ABC отметили точки X и Y — середины дуг AC и AB соответственно. Отрезок XY и сторона треугольника AC пересекаются в точке Z. Докажите, что 
Сюжет 2
Во всех задачах O обозначает центр вписанной окружности треугольника ABC, а I — центр его вписанной окружности.
Основная цель этой задачи — понять, что XY является серпером к AI.
Например так: заметим, что X и Y — это пересечения прямых BI и CI с описанной окружностью ABC, где I — центр вписанной окружности ABC. Тогда по лемме о трилистнике (трезубце), 
Из этого следует, что XY — общая ось симметрии двух равнобедренных треугольников, т. е., действительно, серпер AI. Вместо трилистника можно, разумеется, воспользоваться более школьными соображениями (впрочем, его несложно и вывести случайно).
Естественный ход решения: нужно доказать, что 
По неравенству треугольника 
Осталось доказать, что 
Проделываем какие-то рассуждения (см. выше) и понимаем, что 
а так же, по условию, 
Следовательно, 
то есть, 
При этом