Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71
Добавить в вариант
Докажите, что для любой точки X внутри трапеции справедливо неравенство 
а 
Причем, треугольник 
равносторонний, так как равнобедренный 
(при повороте длины не меняются) с углом при вершине в 60°. Тогда 
В итоге 
Докажите, что для любой точки X за пределами трапеции справедливо неравенство 
и выполним поворот вокруг точки D на угол 60° против часовой стрелки. Тогда 
В итоге 
Докажите, что 
(см. левый рис.).
для максимального случая 
(ясно, что при уменьшении угла 
основание KL также будет уменьшаться и неравенство 
и 
Учитывая, что медиана равнобедренного треугольника CM является биссектрисой, получим 
и 
Аналогично устанавливается, что 
В итоге приходим к требуемому утверждению 
Докажите, что площадь треугольника KCL не превышает половины площади треугольника ABC.
(G — цетроид треугольника). Имеем 
Аналогично 
Из подобия треугольников BDE и BSC следует 
за полюс. Положим 
и 
Тогда 
и 
Отсюда 
и 
и 
то есть M совпадает с точкой пересечения этих отрезков. Интересно отметить, что аналогичная задача для треугольника гораздо сложнее.
С другой стороны, поскольку 
то данный треугольник, является тупоугольным, поэтому круг, построенный на стороне длинной 14 см как на диаметре, целиком накрывает этот треугольник.
Труднее доказать, что вершина при этом не выйдет за пределы отрезка NK. Интересно сравнить это рассуждение с прямым вычислением координат точки C. Именно: 
Далее, 
Покажите, что это лежит между 
и 
если 
Когда в неравенстве достигается равенство?
тогда 
и умножаем на 
получим равносильное 
сторону рассматриваемого квадрата обозначим через q.
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Все рёбра пирамиды имеют одну и ту же длину, равную 10. Таракан, двигаясь только по поверхности пирамиды, перебрался из середины ребра SA в середину ребра SC, при этом успев побывать на основании ABCD. Какова минимально возможная длина пути, пройденного тараканом?
и N2 соответственно. 
Тогда 
откуда 
По теореме косинусов, 
откуда 
Пусть траектория таракана пересекла ребро AB в точке H. Построим равносторонний треугольник ABS4. Пусть 
—
равна 
Поэтому длина пути будет минимальной, когда точки 
H и N3 будут лежать на одной прямой. Тогда длина пути будет равна длине отрезка 
являющегося средней линией трапеции SAS4S3, а именно 
a, 
Тогда его периметр равен 3a и по формуле Герона его площадь равна 
Условие 
эквивалентно тому, что 
и при 
левая часть уже больше, чем 
откуда 
будет целым. Можно перебрать все a от 2 до 17, а можно сократить перебор, заметив, что поскольку квадратный корень из 
должен извлекаться, то 
откуда 
для целого m. Отсюда следует, что a не делится на 3. При этом 
значит, m должно быть четным, тогда и a четно. Четных чисел, не делящихся на 3, в указанных пределах имеется пять штук: 4, 8, 10, 14, 16. Непосредственной проверкой можно убедиться, что подходят только 
и 
Радиус вписанной окружности тогда равен, соответственно, 1 и 4.В правильном 1000-угольнике провели все диагонали. Какое наибольшее количество диагоналей можно выбрать так, чтобы среди любых трех из выбранных диагоналей по крайней мере две имели одинаковую длину?
В треугольнике BMW, где BM < BW < MW, BO — высота, BH — медиана. Точка K симметрична точке M относительно точки O. Перпендикуляр к MW, проведённый через точку K, пересекает отрезок BW в точке P. Докажите, что если MP и BH перпендикулярны, то угол B треугольника BMW равен 90 градусам.
то 
(по теореме Фалеса). Следовательно, HR — средняя линия в треугольнике MPW и поэтому отрезок HR параллелен стороне BW.Дано натуральное число n. В белой таблице 1000n × 1000n некоторые клетки покрашены в черный цвет. Известно, что при любом натуральном k, таком что 
в каждом клетчатом прямоугольнике площади k есть хотя бы одна черная клетка. Докажите, что в любом клетчатом прямоугольнике площади 
тоже есть черная клетка.
равны 
Ясно, что a не превосходит n, иначе 
Останется прямоугольник, площадь которого, с одной стороны, не больше 
а с другой, не меньше 
По условию, в нём есть черная клетка, значит, она же есть и в исходном прямоугольнике.
Если 
то сумма расстояний от y до первых четырех чисел увеличится на 2x, а до последних четырех — уменьшится на 2x (по сравнению с числом 8), и при этом до самого числа 8 расстояние равно x, то есть 
Если 
то есть 
то сумма расстояний от y до всех чисел будет равна 
Рассуждая аналогично при 
получим вывод: минимальное значение s(y) достигается при 
При отрицательных значениях x рассуждения ничем не отличаются.
то сумма расстояний от y до первых четырех чисел увеличится на 4x, а до последних четырех — уменьшится на 4x (по сравнению с числом 8), и при этом до самого числа 8 расстояние равно x, то есть