Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71
Добавить в вариант
что невозможно. При 
прямыми (продолжениями сторон), так же добавится еще и n кусков, следовательно, 
т. е. 
Ясно также, что значение k = 54 возможно: существует 54-угольник с 17 углами 359° и 37 углами 
Например, такой, как изображен на рисунке.
Отразим точку P симметрично относительно AC. Получим точку P1. Отразим точку P симметрично относительно BC. Получим точку P2. Длина ломаной P1RQP2 равна периметру треугольника PQR. Длина ломаной больше, чем длина отрезка, соединяющего её концы. В силу минимальности периметра длина ломаной P1RQP2 равна длине отрезка P1P2. Поэтому точки P1, R, Q, P2 лежат на одной прямой. B треугольнике P1CP2 угол при вершине равен, боковые стороны равны CP. В нём чем меньше боковая сторона, тем меньше основание P1P2. Длина минимальной боковой стороны равна высоте треугольника ABC. Отсюда, CP — высота треугольника ABC. Аналогично доказывается, что Q и R — тоже основания высот.
где k натуральное.
«длинных» диагоналей (соединяющий противоположные вершины многоугольника) пересекаются в центре многоугольника.
вершина. Мы выбираем вершину A слева от «длинной» диагонали, после чего для выбора вершины B справа у нас остаётся 
варианта: мы не можем выбрать вершину, симметричную A относительно «длинной» диагонали (иначе диагональ AB будет симметрична сама себе) и вершину, симметричную относительно центра, иначе AB будет «длинной», а эти точки пересечения мы уже учли.
выбирается единственным образом. Однако каждую пару диагоналей AB и 
Два квадрата, стороны которых относятся как 3 : 4, наложены друг на друга так, что их общая часть также образует квадрат. Длины сторон всех трех квадратов являются натуральными числами, а площадь закрашенной фигуры равна 525. Найдите стороны всех квадратов.
На поверхности куба 
построена замкнутая линия, каждая точка X которой обладает следующим свойством: длина кратчайшего пути по поверхности куба между точками X и A равна длине кратчайшего пути по поверхности куба между X и 
Найдите длину этой линии, если длина ребра куба равна 1.
BC, CD, 
и отрезками 
AC, 
линия, о которой идет речь в условии задачи, разбивается на 12 равных частей. Поэтому достаточно рассмотреть точки, принадлежащие треугольнику ABC.
—
вершина K которой принадлежит ребру BC (в случае 
имеем просто отрезок 
). На ребрах куба объединение граней ABCD и 
представляет собой прямоугольник 
а ломаная 
—
означает, что P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку 
этот перпендикуляр пересекается с треугольником ABC по отрезку MN, где M — середина ребра BC, а N — точка на отрезке AC, угол AMN равен 90° (см. рис.). 
откуда: 
На поверхности правильного тетраэдра ABCD построена замкнутая линия, каждая точка X которой обладает следующим свойством: длина кратчайшего пути по поверхности тетраэдра между X и серединой ребра AB равна длине кратчайшего пути по поверхности тетраэдра между X и серединой ребра CD. Найдите длину этой линии, если длина ребра тетраэдра равна 1.
имеем просто отрезок PN). На развертке тетраэдра объединение граней ABC и ADC представляет собой ромб ABCD, а ломаная PKN — отрезок PN в нем. Условие PM = PN означает, что P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку MN; следовательно, геометрическим местом точек P служит отрезок QR, где Q — cередина ребра AC (и середина отрезка MN) R — точка на отрезке MC, угол MQR равен 90° (см. рис.).
Поэтому 
Умножив это число на 8, получим: 
Точка X выбиралась произвольно, а значит, таких треугольников бесконечно много.Через точку, лежащую внутри треугольника, параллельно его сторонам проведены три прямые, которые разбивают треугольник на шесть частей: три треугольника и три четырехугольника. Площади трех внутренних треугольников относятся друг к другу как 1:4:9. Определите, в каком диапазоне может лежать отношение площади большего из них к площади исходного треугольника.
Таким образом,
(это не соответствует рисунку, но для дальнейших рассуждений не важно, который из внутренних треугольников наибольший). Тогда 
Береговая линия пруда состоит из n прямолинейных отрезков. Когда ударил мороз, лёд покрыл часть пруда на расстоянии до 100 м от береговой линии. Оказалось, что оставшаяся незамёрзшей часть пруда состоит из трёх несвязанных между собой частей. Найдите наименьшее n, при котором это возможно.
—
и делится на 
дуг, т. е. 
На каждой стороне квадрата выбрали по две точки. Каждую из этих точек соединили с обоими концами противоположной стороны квадрата. Если какие-то три (или четыре) из этих отрезков пересекутся в одной точке, то такая точка пересечения учитывается только один раз. Найдите наименьшее число точек пересечения внутри квадрата. Укажите, в какой пропорции для этого надо разбить стороны квадрата.
то 
то 
тогда наша формула принимает вид: 
На чертеже провели стороны, диагонали и все средние линии параллелограмма. Затем буквами обозначили концы и пересечения проведенных отрезков. Сколькими способами можно выбрать тройку букв, соответствующие которым точки лежат на одной прямой?
правильных треугольников. Найдём высоту правильного треугольника со стороной 1
помещается 13 правильных треугольников. 