Ре­ше­ние.

Если бы все точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей были раз­лич­ны, для их подсчёта до­ста­точ­но было бы по­счи­тать общее ко­ли­че­ство спо­со­бов вы­брать 4 вер­ши­ны n-уголь­ни­ка. Дей­стви­тель­но, каж­дая пара пе­ре­се­ка­ю­щих­ся диа­го­на­лей даёт нам 4 вер­ши­ны; с дру­гой сто­ро­ны, для каж­дых 4 вер­шин от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий первую и тре­тью по ча­со­вой стрел­ке, и от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий вто­рую и четвёртую, будут пе­ре­се­ка­ю­щи­ми­ся диа­го­на­ля­ми (сто­ро­на­ми они не могут быть, так как сто­ро­ны ни с чем не пе­ре­се­ка­ют­ся). Ко­ли­че­ство таких спо­со­бов со­став­ля­ет

Од­на­ко, при таком подсчёте точки, в ко­то­рых пе­ре­се­ка­ют­ся боль­ше двух диа­го­на­лей, по­счи­та­ны не­сколь­ко раз.

Во-пер­вых, по­сколь­ку ко­ли­че­ство вер­шин чётно, «длин­ных» диа­го­на­лей (со­еди­ня­ю­щий про­ти­во­по­лож­ные вер­ши­ны мно­го­уголь­ни­ка) пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре мно­го­уголь­ни­ка.

Эта точка по­счи­та­на

раз, в то время как долж­на быть по­счи­та­на 1 раз. Зна­чит, из вы­чис­лен­но­го ко­ли­че­ства надо вы­честь

Во-вто­рых, для каж­дой «длин­ной» диа­го­на­ли можно взять две сим­мет­рич­ные от­но­си­тель­но неё диа­го­на­ли, не про­хо­дя­щие через центр мно­го­уголь­ни­ка. «Длин­ную» диа­го­наль можно вы­брать спо­со­ба­ми. Для удоб­ства пред­ста­вим себе, что вы­бран­ная диа­го­наль рас­по­ло­же­на вер­ти­каль­но. По каж­дую І сто­ро­ну от этой диа­го­на­ли остаётся вер­ши­на. Мы вы­би­ра­ем вер­ши­ну A слева от «длин­ной» диа­го­на­ли, после чего для вы­бо­ра вер­ши­ны B спра­ва у нас остаётся ва­ри­ан­та: мы не можем вы­брать вер­ши­ну, сим­мет­рич­ную A от­но­си­тель­но «длин­ной» диа­го­на­ли (иначе диа­го­наль AB будет сим­мет­рич­на сама себе) и вер­ши­ну, сим­мет­рич­ную от­но­си­тель­но цен­тра, иначе AB будет «длин­ной», а эти точки пе­ре­се­че­ния мы уже учли.

Сим­мет­рич­ная диа­го­наль вы­би­ра­ет­ся един­ствен­ным об­ра­зом. Од­на­ко каж­дую пару диа­го­на­лей AB и мы по­счи­та­ли два­жды, по­то­му что в ка­че­стве пер­вой вы­бран­ной диа­го­на­ли могла быть взята любая из них. Таким об­ра­зом, точку пе­ре­се­че­ния трёх диа­го­на­лей мы умеем ис­кать

спо­со­ба­ми. В ис­ход­ной фор­му­ле каж­дая такая точка по­счи­та­на три­жды, то есть два лиш­них раза. Зна­чит, мы по­лу­ча­ем ещё на

точек мень­ше.

Вы­чи­тая из ис­ход­но­го ко­ли­че­ства пе­ре­се­че­ний оба эти вы­ра­же­ния мы по­лу­ча­ем в точ­но­сти то, что и тре­бо­ва­лось. Если какие-то точки, по­счи­тан­ные в преды­ду­щем аб­за­це, на самом деле сов­па­да­ют, то вы­чи­тать надо ещё боль­ше.