Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71
Добавить в вариант
Назовем почти параллелограммом четырехугольник, направления противоположных сторон которого различаются меньше, чем на 1 градус. Окружность разбили на 2007 дуг, а точки деления соединили хордами. Можно ли утверждать, что среди них найдутся 4 хорды, точки пересечения которых лежат внутри круга и являются вершинами почти параллелограмма?
следовательно, линий будет (квадратные скобки — целая часть) 
треугольников.Назовем почти параллелограммом четырехугольник, направления противоположных сторон которого различаются меньше, чем на 1 градус. Окружность разбили на 2007 дуг, а точки деления соединили хордами. Можно ли утверждать, что среди них найдутся 4 хорды, точки пересечения которых лежат внутри круга и являются вершинами почти параллелограмма?
что меньше чем 1°. Тогда возьмем на окружности 4 самые маленькие дуги. В самом худшем для нас случае (окружность поделилась нацело) угловые длины всех 4 дуг будут равны 0,18° градуса.
Значит, чтобы радиус окружности был минимальным, угол CAB должен быть больше или равен 90°. Уменьшая угол CAB, замечаем, что точка O движется влево, и, когда угол ACB превышает 90°, точка O движется вправо, т. е. минимальное расстояние от точки A до точки O получаем, когда угол 
Если зафиксированные стороны равны, то радиус описанной окружности будет минимальным, когда угол между ними равен 90°. 
то 
Имеем:
то
Обозначим за х проекцию AC на AB, а за y — проекцию BC на AC, пусть 
Пусть O проекция C на прямую AB. Тогда 
Докажем, что x больше чем 
Так как 
то 
Возведя в квадрат получим 
Значит, 
Значит, 
чего в треугольнике быть не может. 
Тогда 
Аналогично как в первом случае получаем, что 
значит, 
либо 
т. е. одна из сторон не целая. 
точек.Если на плоском листе провести 4 прямые общего положения, то на получившемся чертеже можно найти 4 различных треугольника. Какое наименьшее число прямых нужно провести, чтобы на получившемся чертеже можно было найти 2003 различных треугольника?
Для пяти прямых кол-во треугольников вычисляется так: 
Отсюда 
мы имеем меньшее значение 
—
т. е. минимальное количество прямых равно 24.
такие, что 
Найдите наименьшее возможное значение радиуса описанной около треугольника CPQ окружности.
и применяя теорему синусов к треугольникам ACP и BCQ, находим, что 
и упрощая, получаем 
поэтому 
Значит, 
и искомый радиус есть 
