Всего: 303 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Пусть 
а) Докажите, что многочлен 
не имеет действительных корней.
б) Найдите все такие n, при которых многочлен 
делится на 
в) При каком условии на k и n 
делится на 
а) Если 
то
откуда 
однако это число не является корнем исходного уравнения. Приведем еще одно рассуждение. Ясно, что положительных корней данное уравнение не имеет. Если 
то
если же 
то опять-таки
б) Решение несложно, однако связано с рассмотрением комплексных корней многочлена. Корнями трехчлена 
являются числа 
Многочлен 
делится на 
если 
и 
являются и его корнями. Имеем
(по формуле Муавра), далее,
а
если 
Ответ: 
в) Данная задача есть прямое обобщение предыдущей, однако прямая замена числа 3 на 
в условии на число n даст неверное условие. Дело в том, что 3 — простое число, поэтому 
тогда и только тогда, когда 
Решение, которое будет сейчас приведено, вообще не использует никакой тригонометрии, за исключением самой первой формулы.
Положим 
это так называемый первообразный корень степени из 1. Ясно, что 
при 
и что числа 
-- корни уравнения 
(см\. решение пункта а)). Поскольку все эти числа различны, то многочлен делится на 
тогда и только тогда, когда 
при 
Имеем 
Предположим, что 
— общий делитель чисел n и 
Пусть 
тогда число ln кратно 
поэтому 
и 
Если же 
то 
поэтому 
значит, 
Ответ: т. е. числа n и не должны иметь общих делителей, (такие числа называются взаимно простыми).
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
т. е. числа n и не должны иметь общих делителей, (такие числа называются взаимно простыми).
а) Докажите, что число различных способов замощения полоски размером 
«доминошками» равно n-му числу Фибоначчи.
б) Найдите формулу для суммы квадратов коэффициентов в разложении бинома 
в) Шестеро учеников готовятся к ответу, сидя в один ряд на скамье за общим столом. Учитель может вызвать их в любом порядке. Какова вероятность того, что, выходя к доске, хотя бы один из них потревожит другого?
а) Пусть xn — число способов замощения полоски «доминошками». Крайняя левая доминошка может лежать так, как показано на рисунке, а или б, в первом случае имеются 
способов замощения оставшейся полоски, во втором их 
Значит, 
а так как 
и 
то, рассуждая по индукции, получаем, что xn — это n-е число Фибоначчи.
б) До этой формулы можно догадаться, рассмотрев несколько значений n, и затем доказать ее по индукции. Приведем, однако, другое рассуждение.
Имеем: 
коэффициент при 
в левой части равен сумме 
откуда и следует указанное тождество.
Ответ: 
в) Найдем вероятность того, что каждый раз ученик выходит к доске, не попросив подняться никого из своих одноклассников. В первый раз учитель должен вызвать Алешу или Евгения (см. рис.), вероятность этого события равна
во второй — опять-таки двух крайних (вероятность — 
и так далее, таким образом с вероятностью 
никто никому не помешает. Искомая вероятность равна 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Докажите, что если число 
целое, то при всех 
число 
также целое.
б) Докажите, что число 
делится на 
(
— целая часть числа).
в) Докажите, что если многочлен 
делится на многочлен 
то многочлен 
делится на 
а) Положим 
Утверждение легко доказывается по индукции в силу тождества 
Единственное, что следует отметить, это то, что индукционное предположение заключается в справедливости утверждения для всех 
б) Пусть 
тогда 
так что 
поэтому число 
целое. Так как 
то 
поэтому 
значит, 
и 
в) Нетрудно видеть, что если 
— частное от деления многочлена на то частным от деления на 
будет многочлен 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Найдите наименьшее положительное решение уравнения 
б) Найдите число решений уравнения 
в) Докажите, что уравнение 
имеет ровно два решения.
г) Докажите, что выражение 
принимает любое действительное значение тогда и только тогда, когда только одно из чисел a, b лежит между c и d.
а) Обозначим 
тогда
и 
Уравнение примет вид
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
Значит, либо 
либо 
Ясно, что каждое свое положительное значение 
впервые при положительном x принимает на 
— возрастающая функция). Докажем, что
что очевидно, на самом деле 
Значит, наименьший положительный корень уравнения 
Ответ: 
б) Запишем уравнение в виде 
и изобразим графики обеих частей.
Правая часть дает график, похожий на 
только отраженный относительно вертикальной оси, сдвинутый вправо на 5 и вниз на −2.
Левая часть дает прямую, проходящую через начало координат. При 
очевидно есть одна общая точка, как и при 
При 
уменьшение a поворачивает прямую вокруг начала координат. При 
будет два корня — один при отрицательных x, второй при положительных.
При дальнейшем уменьшении a отрицательный корень будет всегда, а положительный исчезнет после того, как прямая пройдет через начальную точку графика 
и 
Это случится когда 
или 
Итак, получаем ответ. При 
—
Ответ: два решения при 
одно — при 
в) Перепишем уравнение в виде 
Заметим, что при 
левая часть равна
при 
левая часть равна
при 
левая часть равна 
Отсюда по непрерывности 
и 
есть корни. Итак, корней не менее двух.
Докажем, что корней не больше двух. Как известно, между двумя корнями непрерывно дифференцируемой функции всегда есть корень ее производной (это следствие теоремы Ролля), поэтому если корней больше двух, то у производной больше одного корня. Но производная равна
Итак, требуется найти условие, при котором для любого числа α существует решение квадратного уравнения
или
(случай 
следует рассмотреть отдельно). Преобразуем дискриминант этого квадратного уравнения:
Положим для краткости
и
Тогда
и 
Квадратное уравнение (относительно x) имеет решение тогда и только тогда, когда при всех α верно неравенство 
для чего необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратичного относительно α выражения 
был не положителен. Проделанные вычисления показывают, что последний дискриминант равен
Для завершения доказательства осталось проверить, что неравенство
имеет место, когда одно из чисел a, b лежит между c и d.
г) Будем считать, что 
По условию, уравнение 
должно быть разрешимо для любого k. Преобразуем это уравнение 
получим 
При 
уравнение сводится к 
то есть к 
Это уравнение имеет корни всегда, кроме возможно случая, когда 
что невозможно, если ровно одно из чисел a и b лежит между c и d (например, если 
то 
аналогично разбираются и другие варианты), а мы ниже установим, что это условие выполнено.
При прочих k получаем квадратное уравнение
Его дискриминант должен быть неотрицателен. Вычислим его:
Для того, чтобы это выражение было всегда неотрицательно (теоретически кроме 
но если квадратный трехчлен неотрицателен везде, кроме одной точки, то он неотрицателен и в ней), необходимо и достаточно чтобы старший коэффициент этого квадратного трехчлена от k был положителен (это так) и его дискриминант был не положителен. Вычислим его:
Равенство нулю невозможно, поскольку a, b, c, d различны. Значит, на самом деле это выражение меньше нуля, откуда 
и 
имеют различные знаки. Но выражение 
отрицательно при 
и отрицательно при 
и 
значит, одно из чисел a и b лежит между c и d, а другое не лежит.
Обратно. Пусть числа расположены именно так. Тогда 
поэтому дискриминант трехчлена
не положителен, поэтому его значения всегда неотрицательны и трехчлен
всегда имеет корни, кроме того при уравнение 
разрешимо. Значит, функция действительно принимает все значения.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два решения при одно — при а) Известно, что 
Найдите 
б) Докажите, что если многочлен 
делится на многочлен 
то многочлен 
делится на 
в) Докажите, что многочлен 
делится на многочлен 
а) Заметим, что
откуда 
Тогда
Ответ: 
б) Условие означает, что найдется такой многочлен 
что 
при всех x. Подставляя в это равенство 
вместо x, получим 
откуда следует утверждение задачи.
в) Пусть 
и
Имеем:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Пусть 
— вершины правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность с центром O.
а) Докажите, что 
б) Докажите, что 
в) Докажите, что многочлен 
делится на многочлен 
а) Пусть zk — комплексные числа, соответствующие точкам Ak единичной окружности, расположенные так, что 
Тогда 
а 
Утверждение задачи следует из того, что
Заметим, что так как 
то доказанное тождество имеет следующую тригонометрическую форму
б) Имеем 
и 
После небольших преобразований получаем, что искомое тождество равносильно тождеству, указанному в конце решения предыдущего пункта.
в) Достаточно проверить, что каждый корень второго многочлена является корнем и первого. Корнями второго являются комплексные числа 
Таким образом,
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Пусть 
а) Докажите, что если 
при всех 
то 
при всех 
б) Докажите, что из того, что 
при всех не следует, что 
при всех
в) Пусть 
Докажите, что если при всех то 
где 
при всех
а) В этой задаче, абсолютно очевидной с точки зрения «высшей» математики (рассмотрите интерполяционный многочлен Лагранжа), потребовались некоторые ухищрения для поиска ее решения, не требующего введения новых понятий. Запишем многочлен 
в виде
Очевидно, что достаточно доказать рациональность всех коэффициентов ci, 
Подставляя в выписанное разложение последовательно числа 
получим систему равенств
рациональны. Поскольку 
то из условия рациональности значений 
для 
следует рациональность коэффициентов ck (ср. далее с решением пункта в)).
б) Пример: 
в) Заметим прежде всего, что многочлены 
обладают следующими свойствами:
Последнее свойство достаточно проверить для 
Оно очевидно, поскольку 
Далее, для того, чтобы доказать совпадение многочленов степени n, достаточно показать, что совпадают их значения в 
точке. Поэтому достаточно доказать, что существуют такие 
что 
при 
Рассуждение поведем по индукции. База очевидна, поскольку 
Предположим, что числа 
являются целыми. Подставив 
в равенство 
и воспользовавшись отмеченными свойствами многочленов 
получим, что
откуда и следует целочисленность коэффициента bk.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите уравнение 
б) Докажите, что если все ненулевые коэффициенты некоторого многочлена равны 
то все его корни по модулю меньше двух.
в) Известно, что 
и 
Докажите, что 
а)Очевидно при 
левая часть положительна, а правая отрицательна, поэтому отрицательных корней быть не может. При положительных x поделим уравнение на 
Получим
В левой части сумма k выражений вида 
что при положительных a не меньше двух:
причем равенство достигается только при 
Поэтому сумма k таких выражений не меньше 
и равенство достигается только при 
Перепишите уравнение в виде 
Ответ:
б) Докажите, что если все ненулевые коэффициенты некоторого многочлена равны то все его корни по модулю меньше двух.
Запишем многочлен в виде 
(если старший коэффициент равен −1, домножим его на −1 от этого его корни не изменятся.
Пусть a его корень, 
Тогда 
но
Противоречие. Докажите, что если 
то 
в) В силу обобщенных формул Виета, из данных уравнений следует, что числа 
суть корни кубического многочлена 
Постройте обычным способом график кубической функции 
взгляните на полученный рисунок и ... решение закончено!
Известно, что и Докажите, что Рассмотрим кубический многочлен
Он имеет корни 
Обозначив 
получим, что уравнение 
имеет три корня. Выясним для начала, когда это возможно.
Пусть 
тогда
поэтому 
возрастает при 
убывает при 
и возрастает при 
При этом 
и 
поэтому уравнение 
имеет три корня тогда и только тогда, когда 
Далее, 
и 
поэтому прямая 
пересекает график функции 
на промежутке 
при 
а на промежутке 
при 
Отсюда и получаем, что 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Докажите, что если каждая из диагоналей четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.
б) Найдите наибольшую площадь тени при ортогональной проекции на плоскость правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна единице, а плоские углы при вершине прямые.
в) Докажите, что если 
то по крайней мере один из квадратных трехчленов 
i = 1, 2, имеет действительный корень.
а) Поскольку 
то точки B и D расположены на одинаковом расстоянии от прямой AC, следовательно, середина диагонали BD лежит на AC. Аналогично, середина AC лежит на BD. Таким образом, точка пересечения обеих диагоналей делит каждую из них пополам.
б) Вместо того, чтобы пытаться выразить площадь проекции через площади граней пирамиды с использованием формулы 
лучше посмотреть, что представляет из себя проекция данной пирамиды. Возможны два случая. В первом из них проекция является треугольником — проекцией одной из граней пирамиды, во втором она — четырехугольник, диагоналями которого являются проекции некоторых двух ее скрещивающихся ребер. Ясно, что в первом случае площадь проекции наибольшая, если мы проектируем нашу пирамиду на плоскость, параллельную той ее грани, которая имеет наибольшую площадь; в нашем случае это основание пирамиды и ее площадь 
Второй случай более интересен. Площадь четырехугольника равна 
где d1, d2 — это длины его диагоналей, а 
— угол между ними. Ясно, что 
поэтому произведение всех этих величин не 
что меньше, чем 
Ответ: 
в) Рассмотрим сумму дискриминантов данных квадратичных многочленов,
Следовательно, хотя бы один из них неотрицателен.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите систему 
б) Существует ли многочлен 
имеющий девять различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
в) Докажите неравенство 
а) Неравенство приводится к виду 
где 
поскольку 
Из первого уравнения получаем 
или 
Разберем два случая.
Если 
то 
или 
где 
При получим 
и второе уравнение примет вид 
т. е. 
или 
При 
получим 
и второе уравнение примет вид 
или 
Если 
то 
или 
При получим 
и второе уравнение примет вид 
где 
При 
получим 
и второе уравнение примет вид 
где 
Ответ: 
б) Действительно, положим 
Ясно, что если корни xi достаточно малы, то и коэффициенты многочлена малы. Можно написать явные оценки, но лучше провести следующее рассуждение.
Пусть
Коэффициенты этого многочлена имеют вид 
Поскольку 
при 
то найдется такое натуральное число n, что 
i = 1, 2, ..., 9.
Ответ: Да, существует.
в) Обозначим 
Тогда неравенство можно записать в виде
Что верно, поскольку 
поэтому 
и 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Да, существует.а) Решите систему 
б) Существует ли многочлен 
имеющий восемь различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
в) Докажите неравенство 
а) Из первого уравнения получаем или 
Разберем два случая.
Если то или При получим и второе уравнение примет вид 
отсюда 
При получим и второе уравнение примет вид 
т. е. 
Если 
то можно поменять мысленно местами x и y и получить предыдущий случай.
Ответ: 
б) Да, существует. Рассмотрим многочлен
Пусть 
и 
Рассмотрим тогда многочлен
Этот многочлен имеет корни 
и его коэффициенты не превосходят 
в) Обозначим 
Тогда неравенство можно записать в виде
Что верно, поскольку 
поэтому 
и
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т. е. со старшим коэффициентом, равным 1) с целыми коэффициентами таких, что они имеют два различных корня, являющиеся степенями числа 3 с натуральными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят 2745.
Такие квадратные трёхчлены можно представить в виде 
где a, b — натуральные числа. Чтобы исключить повторения, считаем, что 
Раскрывая скобки, получаем
По условию
Заметим, что если для некоторых натуральных a и b выполняется второе неравенство, то первое неравенство также верно. Для каждого значения a выпишем количество подходящих значений b:
значений b;
значения b 
значения b 
значение b 
значение b 
значений b 
значений b 
значения b 
значение b.
Суммируя, получаем
Ответ: 4489.
Описаны наборы степеней, которые могут встретиться — 1 балл.
Некоторые трёхчлены посчитаны дважды — не более 3 баллов за задачу.
Не учтено, что корни трёхчлена различны — не более 4 баллов за задачу.
Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т. е. со старшим коэффициентом, равным 1) с целыми коэффициентами таких, что они имеют два различных корня, являющиеся степенями числа 5 с натуральными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят 12548.
Такие квадратные трёхчлены можно представить в виде 
где 
—
Раскрывая скобки, получаем 
По условию
Заметим, что если для некоторых натуральных a и b выполняется второе неравенство, то первое неравенство также верно. Для каждого значения a выпишем количество подходящих значений b:
значений b;
значение b 
значения b 
значений b 
значений b 
значений b 
значений b 
значение b
значений b.
Суммируя, получаем
Ответ: 5112.
Описаны наборы степеней, которые могут встретиться — 1 балл.
Некоторые трёхчлены посчитаны дважды — не более 3 баллов за задачу.
Не учтено, что корни трёхчлена различны — не более 4 баллов за задачу.
Когда к квадратному трёхчлену f(x) прибавили 3x2, его наименьшее значение увеличилось на 9, а когда из него вычли x2, его наименьшее значение уменьшилось на 9. А как изменится наименьшее значение f(x), если к нему прибавить x2?
Пусть 
Поскольку квадратный трёхчлен принимает наименьшее значение, его старший коэффициент положителен, а само минимальное значение достигается в вершине параболы, т. е. в точке 
Это значение равно
Если к прибавить 
то получаем квадратный 
вычесть 
то получаем квадратный трёхчлен 
для которого минимальное значение равно 
Отсюда следуют уравнения
Разделив у последней системы одно уравнение на второе, получаем 
откуда 
Тогда 
а минимальное значение равно
Если к квадратному трёхчлену добавить то выйдет функция 
минимальное значение которой равно
что на 
больше минимума исходной функции.
Ответ: увеличится на 
Верно составлены уравнения на коэффициенты трехчлена — 2 балла.
Найдены коэффициенты трехчлена — 2 балла.
Не проверено, что в вершине параболы действительно достигается максимум (минимум) — баллы не снимаются.
Если вместо yвершины исследуется значение xвершины, то 0 баллов за задачу.
Когда к квадратному трёхчлену f(x) прибавили 2x2, его наибольшее значение увеличилось на 10, а когда из него вычли 5x2, его наибольшее значение уменьшилось на 
А как изменится наибольшее значение f(x), если к нему прибавить 3x2?
Пусть Поскольку квадратный трёхчлен принимает наибольшее значение, его старший коэффициент отрицателен, а само максимальное значение достигается в вершине параболы, т. е. в точке Это значение равно
Если к прибавить 
то получаем квадратный трёхчлен 
для которого максимальное значение 
вычесть 
то получаем квадратный трёхчлен 
для которого максимальное значение равно 
Отсюда следуют уравнения
Разделив у последней системы одно уравнение на второе, получаем
откуда 
Тогда 
а максимальное значение равно
Если к квадратному трёхчлену добавить то выйдет функция 
максимальное значение которой равно
что на 
больше максимума исходной функции.
Ответ: увеличится на 
Верно составлены уравнения на коэффициенты трехчлена — 2 балла.
Найдены коэффициенты трехчлена — 2 балла.
Не проверено, что в вершине параболы действительно достигается максимум (минимум) — баллы не снимаются.
Если вместо yвершины исследуется значение xвершины, то 0 баллов за задачу.
Пусть x1 и x2 — корни уравнения 
Вычислите 
Для уравнения 
имеем
Ответ: 
Уравнение x2 + 5x + 1 = 0 имеет корни x1 и x2. Найдите значение выражения:
Так как 
то
Тогда
Ответ: 220.
Числа a и b таковы, что многочлен 
является квадратом некоторого другого многочлена. Найдите b.
Пусть
Раскрывая скобки, получаем
поэтому, приравнивая коэффициенты при степенях, находим 
Отсюда
Ответ: 
Пусть x1 и x2 — корни уравнения 
Вычислите
Уравнение x2 − 5x + 1 = 0 имеет корни x1 и x2. Найдите значение выражения:
Наверх