Всего: 303 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
является квадратом некоторого другого многочлена. Найдите b.
то 
является квадратом некоторого другого многочлена. Найдите b.
Отсюда 
на луче x > 0.
имеем 
(равенство достигается при 
при этом 
при 
Функция 
возрастает при 
на луче x < 0.
— много член степени n и 
при всех 
Найдём 
По формуле бинома Ньютона при любом 
имеем 
причём если добавить к этой сумме слагаемые, соответствующие 
то она не изменится, так как 
(каждое такое произведение содержит множитель 
Значит, 
Рассмотрим многочлен 
Следовательно, 
как многочлены степени n, совпадающие в 
точке. 
находим 
При 
получаем 
равно
находим 
Числа p и q подобраны так, что парабола y = px − x2 пересекает гиперболу xy = q в трех различных точках A, B и C, причем сумма квадратов сторон треугольника ABC равна 324, а точка пересечения его медиан находится на расстоянии 2 от начала координат. Найдите произведение pq.
сводится к кубическому уравнению 
имеющему, по условию задачи, три различных корня x1, x2, x3, так как у любых двух разных точек кривой 
абсциссы различны. По теореме Виета, 
Заметим, что если хотя бы одно из чисел x1, x2 или x3 равно 0, то 
и у кубического уравнения будет лишь два корня, что противоречит условию задачи. Тогда, в силу системы, 
Теперь вычислим сумму квадратов длин сторон треугольника ABC. Она равна 
откуда находим две пары: 
или 
В обоих случаях 
Числа p и q подобраны так, что парабола y = qx − x2 пересекает гиперболу xy = p в трех различных точках A, B и C, причем сумма квадратов сторон треугольника ABC равна 378, а точка пересечения его медиан находится на расстоянии 3 от начала координат. Найдите произведение pq.
Найдите все такие пары (P(x); a).
и многочлен 
удовлетворяет равенству 
Тогда 
где 
Тогда 
коэффициенты при степенях x, видим, что все они, кроме коэффициента при 
равны 0.
удовлетворяет условию при любом 
а многочлен, равный ненулевой константе, не удовлетворяет условию ни при каком a. Пусть теперь степень многочлена P равна 
как уравнение относительно 
Если k четно и 
то при больших x оно не имеет решений. В остальных случаях можно обозначить 
при некотором вещественном 
Зафиксируем вещественный параметр 
Имеем 
(при этом значении 
коэффициент при 
равен 0) и выберем числа 
Тогда если 
из монотонности многочлена на некотором луче вида 
получаем, что 
лежит между 
и 
Иными словами, разность 
стремится к 
при больших 
таких что 
Для тех x, для которых 
(такое возможно при четном 
аналогично получаем, что 
имеет некоторый конечный предел 
Рассмотрим большое натуральное x. Среди чисел 
два имеют одинаковый знак. Если, например, 
отрицательны, то 
и функции от x, стремящейся к 0 при возрастании x. Отсюда получаем, что число 
целое. В любом случае получаем, 
—
имеющие предел, должны быть постоянны при больших x. Таким образом, хотя бы одно из равенств 
имеет место при бесконечно многих x, отметим, что из этого следует цело — численность 
Тогда либо многочлен 
либо многочлен 
имеет бесконечно много корней — следовательно, он тождественно равен 0. Применяя лемму получаем, что 
—
так что подойдет 
где 
—
—
—Сашин компьютер умеет делать две операции. Если в него загрузить карточку с числом a, то он вернет ее назад и напечатает еще карточку с числом 
Если же в него последовательно загрузить карточки с числами a и b, то он вернет их назад и напечатает карточки со всеми корнями квадратного трехчлена 
(одну, две, или ни одной). Изначально у Саши была лишь карточка с числом s. Верно ли, что при любом s > 0 Саша сможет в какой-то момент получить карточку с числом 
(А. Храбров)
затем по карточкам 
и [s] напечатаем карточки с корнями квадратного трехчлена 
т. е. [−1] и 
Далее по карточке [−1] сделаем карточку 
и, наконец, по карточкам [0] и [
] напечатаем карточки с корнями квадратного трехчлена 
т. е. 
и 
У квадратного трехчлена разрешается заменить любой из трех его коэффициентов на его дискриминант. Верно ли, что из любого квадратного трехчлена, не имеющего корней, можно за несколько таких операций получить квадратный трехчлен, имеющий корень?
(А. Кузнецов)
имеет целый корень. Докажите, что f(0) = 0.
делится на все простые числа, меньшие 20, из этого будет следовать 
так как это произведение слишком велико.
не может являться решением ни одного из уравнений из условия (левая часть не делится на p, а правая часть делится).
... 
должны давать попарно различные остатки при делении на p при условии, что эти остатки ненулевые. Однако уравнений у нас p, а возможных остатков 
—
ровно 3400 корней, а у многочлена 
ровно 2700 корней. Докажите, что расстояние между какими-то двумя корнями f(x) меньше 0,002.
имеет корни 
где 
Так как 
имеет ровно 3400 корней, а уравнение 
имеет не более двух решений, то не более чем 
корней f лежат за пределами 
—
Аналогично, так как 
имеет ровно 2700 корней, а уравнение 
—
корней f лежат за пределами 
—
Значит, не менее 
откуда следует, что среди них есть два на расстоянии Назовем тройку натуральных чисел a, b, c вызывающей интерес, если 
кратно 
но ни один из двух множителей сам не кратен 
Дана вызывающая интерес тройка a, b, c. Докажите, что существуют натуральные числа u, v, для которых тройка u, v, c вызывает интерес и 
делится на 
то 
можно разложить в произведение двух таких множителей 
что 
кратно X, а 
кратно 
Для этого достаточно, например, положить 
Будем считать, не умаляя общности, что 
тогда 
откуда 
Легко понять, что 
делится на X, но не делится на 
делится на Y, но явно не делится на 
Следовательно, произведение 
делится на 
Таким образом, u, v, c — тройка, вызывающая интерес.
Тогда при любом x разность 
это невозможно, поскольку уравнение 
имеет решение относительно x. Стало быть, 
и 
Тогда разность 
с рациональным b подходят, поскольку число 
Действительно, 
что является корнем f(x).