Многочлен P(x) с целыми коэффициентами и натуральное число a > 1 таковы, что для любого целого x найдётся целое z, для которого 
Найдите все такие пары (P(x); a).
(А. Голованов)
Нам понадобится следующая стандартная
Лемма. Предположим, что A, B — вещественные числа, причём 
и многочлен 
степени 
удовлетворяет равенству 
Тогда 
где 
Доказательство. Положим 
Тогда
Приравнивая в полученном уравнении 
коэффициенты при степенях x, видим, что все они, кроме коэффициента при 
равны 0.
Ясно, что многочлен 
удовлетворяет условию при любом 
а многочлен, равный ненулевой константе, не удовлетворяет условию ни при каком a. Пусть теперь степень многочлена P равна и
Рассмотрим равенство 
как уравнение относительно 
Если k четно и 
то при больших x оно не имеет решений. В остальных случаях можно обозначить 
при некотором вещественном 
Зафиксируем вещественный параметр 
Имеем
Положим 
(при этом значении 
коэффициент при 
равен 0) и выберем числа 
Тогда если 
большое и 
из монотонности многочлена на некотором луче вида 
получаем, что 
лежит между 
и 
Иными словами, разность 
стремится к 
при больших 
таких что 
Для тех x, для которых 
(такое возможно при четном 
аналогично получаем, что 
имеет некоторый конечный предел 
Рассмотрим большое натуральное x. Среди чисел 
два имеют одинаковый знак. Если, например, и 
отрицательны, то
есть сумма целого числа 
и функции от x, стремящейся к 0 при возрастании x. Отсюда получаем, что число 
целое. В любом случае получаем, 
—
имеющие предел, должны быть постоянны при больших x. Таким образом, хотя бы одно из равенств 
имеет место при бесконечно многих x, отметим, что из этого следует цело — численность или, соответственно, 
Тогда либо многочлен 
либо многочлен 
имеет бесконечно много корней — следовательно, он тождественно равен 0. Применяя лемму получаем, что где 
—
Для решения задачи 69 теперь достаточно заметить, что все такие многочлены подходят: 
так что подойдет 
где 
—
—
Ответ: где — где — —