Известно, что P(x) — многочлен 9-ой степени и P(k) = 2k при всех k = 1, 2, 3, ..., 10. Найдите P(12).
Пусть 
— много член степени n и 
при всех 
Найдём 
По формуле бинома Ньютона при любом 
имеем
Заметим, что сумма в правой части этого равенства есть многочлен от k степени 
причём если добавить к этой сумме слагаемые, соответствующие 
то она не изменится, так как
при 
(каждое такое произведение содержит множитель 
Значит,
при и 
Рассмотрим многочлен
Это многочлен степени n, причём по доказанному 
Следовательно, 
как многочлены степени n, совпадающие в 
точке.
Подставляя 
находим
(в последнем равенстве мы снова использовали формулу бинома Ньютона и равенства для биномиальных коэффициентов 
При 
получаем
В частности, для многочлена из условия задачи 
Другой способ решения. Многочлен степени π однозначно определяется своими значениями в точках Непосредственной подстановкой этих точек убеждаемся, что условию задачи удовлетворяет многочлен (интерполяционный многочлен Лагранжа)
Его значение в точке 
равно
где
Поскольку
с учётом условия 
находим
Значит,
Ответ: 4072.