Пусть 
а) Докажите, что многочлен 
не имеет действительных корней.
б) Найдите все такие n, при которых многочлен 
делится на 
в) При каком условии на k и n 
делится на 
а) Если 
то
откуда 
однако это число не является корнем исходного уравнения. Приведем еще одно рассуждение. Ясно, что положительных корней данное уравнение не имеет. Если 
то
если же 
то опять-таки
б) Решение несложно, однако связано с рассмотрением комплексных корней многочлена. Корнями трехчлена 
являются числа 
Многочлен 
делится на 
если 
и 
являются и его корнями. Имеем
(по формуле Муавра), далее,
а
если 
Ответ: 
в) Данная задача есть прямое обобщение предыдущей, однако прямая замена числа 3 на 
в условии на число n даст неверное условие. Дело в том, что 3 — простое число, поэтому 
тогда и только тогда, когда 
Решение, которое будет сейчас приведено, вообще не использует никакой тригонометрии, за исключением самой первой формулы.
Положим 
это так называемый первообразный корень степени из 1. Ясно, что 
при 
и что числа 
-- корни уравнения 
(см\. решение пункта а)). Поскольку все эти числа различны, то многочлен делится на 
тогда и только тогда, когда 
при 
Имеем 
Предположим, что 
— общий делитель чисел n и 
Пусть 
тогда число ln кратно 
поэтому 
и 
Если же 
то 
поэтому 
значит, 
Ответ: т. е. числа n и не должны иметь общих делителей, (такие числа называются взаимно простыми).