PDF-версии: 
Пусть 
а) Докажите, что многочлен 
не имеет действительных корней.
б) Найдите все такие n, при которых многочлен 
делится на 
в) При каком условии на k и n 
делится на 
Решение. а) Если 
то
откуда 
однако это число не является корнем исходного уравнения. Приведем еще одно рассуждение. Ясно, что положительных корней данное уравнение не имеет. Если 
то
если же 
то опять-таки
б) Решение несложно, однако связано с рассмотрением комплексных корней многочлена. Корнями трехчлена 
являются числа 
Многочлен 
делится на 
если 
и 
являются и его корнями. Имеем
(по формуле Муавра), далее,
а
если 
Ответ: 
в) Данная задача есть прямое обобщение предыдущей, однако прямая замена числа 3 на 
в условии на число n даст неверное условие. Дело в том, что 3 — простое число, поэтому 
тогда и только тогда, когда 
Решение, которое будет сейчас приведено, вообще не использует никакой тригонометрии, за исключением самой первой формулы.
Положим 
это так называемый первообразный корень степени из 1. Ясно, что 
при 
и что числа 
-- корни уравнения 
(см\. решение пункта а)). Поскольку все эти числа различны, то многочлен делится на 
тогда и только тогда, когда 
при 
Имеем 
Предположим, что 
— общий делитель чисел n и 
Пусть 
тогда число ln кратно 
поэтому 
и 
Если же 
то 
поэтому 
значит, 
Ответ: т. е. числа n и не должны иметь общих делителей, (такие числа называются взаимно простыми).
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
т. е. числа n и не должны иметь общих делителей, (такие числа называются взаимно простыми). т. е. числа n и не должны иметь общих делителей, (такие числа называются взаимно простыми).