а) Докажите, что если каждая из диагоналей четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.
б) Найдите наибольшую площадь тени при ортогональной проекции на плоскость правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна единице, а плоские углы при вершине прямые.
в) Докажите, что если 
то по крайней мере один из квадратных трехчленов 
i = 1, 2, имеет действительный корень.
а) Поскольку 
то точки B и D расположены на одинаковом расстоянии от прямой AC, следовательно, середина диагонали BD лежит на AC. Аналогично, середина AC лежит на BD. Таким образом, точка пересечения обеих диагоналей делит каждую из них пополам.
б) Вместо того, чтобы пытаться выразить площадь проекции через площади граней пирамиды с использованием формулы 
лучше посмотреть, что представляет из себя проекция данной пирамиды. Возможны два случая. В первом из них проекция является треугольником — проекцией одной из граней пирамиды, во втором она — четырехугольник, диагоналями которого являются проекции некоторых двух ее скрещивающихся ребер. Ясно, что в первом случае площадь проекции наибольшая, если мы проектируем нашу пирамиду на плоскость, параллельную той ее грани, которая имеет наибольшую площадь; в нашем случае это основание пирамиды и ее площадь 
Второй случай более интересен. Площадь четырехугольника равна 
где d1, d2 — это длины его диагоналей, а 
— угол между ними. Ясно, что 
поэтому произведение всех этих величин не 
что меньше, чем 
Ответ: 
в) Рассмотрим сумму дискриминантов данных квадратичных многочленов,
Следовательно, хотя бы один из них неотрицателен.