Всего: 142 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
для которых верно неравенство 
таких что уравнение 
)
б) 
в) 
(иначе оно не определено) и рационализируем его
положителен при 
и 
причем 
и 
меньше двойки и нас не интересуют. С помощью метода интервалов получим ответ на 
отметив сразу, что точки 
не являются корнями исходного уравнения, поскольку для них 
и 
но 
Решим 
Они получаются, если k делится на 3 но не на 6. Окончательно 
и 
имеет единственное решение.
подходит в систему, то и пара чисел 
подходит в систему, поэтому единственным решение может быть только если 
Далее, из пар вида 
должна подходить ровно одна (больше одной нельзя по условию, а если не подходит ни одна, то единственного решения не будет), то есть 
Тогда трехчлен 
должен иметь единственный корень (если корней два, то на роль x подойдет любое число между корнями, а если корней нет вовсе, то у неравенства не будет решений). Тогда его дискриминант 
откуда 
Осталось убедиться, что система неравенств
Сложив неравенства, получим 
имеющий девять различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
где 
поскольку 
Из первого уравнения получаем 
или 
Разберем два случая.
то 
или 
где 
и второе уравнение примет вид 
т. е. 
или 
получим 
и второе уравнение примет вид 
или 
то 
или 
и второе уравнение примет вид 
где 
получим 
и второе уравнение примет вид 
где 
Ясно, что если корни xi достаточно малы, то и коэффициенты многочлена 
малы. Можно написать явные оценки, но лучше провести следующее рассуждение.
Поскольку 
при 
то найдется такое натуральное число n, что 
i = 1, 2, ..., 9.
Тогда неравенство можно записать в виде
поэтому 
и 
имеющий восемь различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
Разберем два случая.
отсюда 
При 
т. е. 
то можно поменять мысленно местами x и y и получить предыдущий случай.
и 
Рассмотрим тогда многочлен 
и его коэффициенты не превосходят 
Тогда неравенство можно записать в виде
поэтому 
и а) Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов которой имеются числа 2, 3 и 5?
б) Решите уравнение 
(здесь 
— это целая часть числа, т. е. наибольшее целое число, его не превосходящее).
в) Найдите количество лежащих на кривой 
точек плоскости, координаты которых суть целые числа.
г) Два шахматиста играют матч до первой победы. Известно, что во встречах друг с другом каждый из них, играя белыми фигурами, побеждает с вероятностью 
а проигрывает с вероятностью 
(тем самым с вероятностью в каждой из партий фиксируется ничья). Если в 40 партиях матча будет зафиксирована ничья, то для определения победителя кидают жребий. Оцените (с разумной точностью) шансы на выигрыш того игрока, с хода которого начнется этот матч.
и 
то 
т. e. 
что невозможно. 
то осуществим перебор. 
Тогда 
откуда 
Имеем 
так что 
и этот случай невозможен.
или 
В первом случае 
Из 
(
), поэтому число k должно быть четным. Во втором случае, наоборот, n — нечетно. Поэтому 
или 
Таким образом, 
или 
В этом случае 
так что решений нет.
Тогда 
а число k должно быть четно. Таким образом, 
Так как числа x + y и x − y, будучи целыми, имеют одинаковую четность, то 
и 
где 
Таким образом, количество решений данного уравнения совпадает с количеством чисел 
поэтому будем считать, что матч продолжается до первой победы. Вероятность победы игрока, который в первой партии играет белыми фигурами, равна сумме ряда 
— вероятности его победы при игре белыми, соответственно, черными фигурами, 
— вероятность ничьи. 
так как вероятность его победы почти равна 
а) Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов которой имеются числа 3, 7 и 10?
б) Решите уравнение 
(здесь — это целая часть числа, т. е. наибольшее целое число, его не превосходящее).
в) Найдите количество лежащих на кривой 
точек плоскости, координаты которых суть целые числа.
г) Два шахматиста играют матч до первой победы. Известно, что во встречах друг с другом каждый из них, играя белыми фигурами, побеждает с вероятностью а проигрывает с вероятностью 
(тем самым с вероятностью 
в каждой из партий фиксируется ничья). Если в 80 партиях матча будет зафиксирована ничья, то для определения победителя кидают жребий. Оцените (с разумной точностью) шансы на выигрыш того игрока, с хода которого начнется этот матч.
получим 
причем 
Из первых двух уравнений получаем 
а из последних двух 
поскольку 
Поэтому левая часть может принимать только значения −2, −1, 0, 1, 2. Решим все полученные уравнения-следствия, а потом проверим, для каких из их корней целая часть оказывается правильной. Во всех вариантах ниже 
Найдем
было нечетным или, что то же, k было нечетным, 
тогда
при нечетном k. Значит, нужно, чтобы k было четным 
получим
откуда видно, что 
и 
—
что четно, поэтому и сами они оба четны (или оба нечетны, но тогда и их произведение было бы нечетно). Обозначая 
и 
получим 
причем по любым целым a и b можно однозначно построить 
и 
которые подойдут в изначальное уравнение.
Все они имеют вид 
где 
и l =0, 1, 2, 3, 4, 5, что дает 
варианта для a и каждый из них однозначно определит b.
вероятность его победы почти равна 
и 
Найдите 
вместо 
и преобразуем полученное равенство (учитываем, что в силу 
и 
Подстановкой в первое уравнение* убеждаемся, что подходит 
и т. д. Каждое из этих значений x подставляем в первое уравнение, период 
при этом можно отбросить.
Следовательно, равенство может достигаться только при одновременном выполнении условий 
и 
откуда 
и 
Из второго уравнения получаем 
где 
Подстановкой в первое уравнение* убеждаемся, что подходит только 
где 
и т. д. Каждое из этих значений x подставляем в первое уравнение, период 
Тогда 
где 
Тогда 
и при 
где 
Тогда 
Учитывая условие, получаем 
Тогда 
и при 
где 
Наибольшее отрицательное среди этих чисел равно 
то 
или 
Если 
то 
то есть 
или 
тогда 
или 
то 
то 
меньший из них лежит между −12 и −11, а больший — между 1 и 2. Таким образом, между корнями второго уравнения лежат 7 нечётных 
Тогда, воспользовавшись формулой косинуса тройного угла, получим 
(то есть 
а из второго 
где 
Поэтому 
или 
где 
попадут 24 числа при 
их сумма равна 
их сумма равна 
