Всего: 183 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Два коридора высотой и шириной в 1 м идут перпендикулярно друг другу по первому и второму этажу здания. Разделяющее их перекрытие разобрано, образуя дыру 1 
1 м в полу одного и потолке другого. Какова максимальная длина балки, которую можно передать из одного коридора в другой через дыру? (Балку считать негнущимся отрезком нулевой толщины. Толщина перекрытия также равна нулю, т. е. пол верхнего коридора и потолок нижнего коридора находятся в одной плоскости.)
— указанную в ответе длину балки, PQRS — квадрат, образующий дыру.
Производная этой функции равна 
Отсюда видно, что минимум функции достигается при 
Подставляя это значение в выражение для AX, получаем после преобразований min(AX) = d (напомним, d обозначает число, указанное в ответе). Таким образом, длина AX всё время не меньше длины балки (в частности при 
), т. е. точка B никогда не выходит за пределы отрезка AX, а значит и за пределы коридоров, что и требовалось. 
Поскольку движение балки непрерывно, при любом способе передачи возникнет момент, когда точка O окажется в плоскости PQRS. Покажем, что в этот момент длина балки не может быть больше d.
и 
— вертикальные плоскости, проходящие через O параллельно осям верхнего и нижнего коридора соответственно, zA — расстояние от A до плоскости PQRS, xA — расстояние от A до 
yA — расстояние от A до 
zB, xB, yB — аналогичные расстояния для точки B. (На рисунке ниже слева изображён "вид сверху" в проекции на плоскость PQRS, плоскости и проецируются в прямые, отрезки zA и zB не видны, т. к. проецируются в точки A и B соответственно. Точка O находится в плоскости PQRS).
Кроме того, 
Тогда длина всей балки:
В кубическом сундуке со стороной 2n дм хранится 8n различных пряностей: в него упакованы восемь закрытых кубических коробок со стороной 2n−1 дм, в каждую из них — восемь закрытых кубических коробок со стороной 2n−2 дм, и так далее вплоть до коробок со стороной 1 дм, в каждой из которых лежит своя пряность.
В одной из маленьких коробок оказалась мышь, которая хочет отведать всех пряностей, посетив каждую коробку ровно по одному разу и вернувшись в конце пути в родную коробку. Прогрызая стенки, мышь может попадать из данной маленькой коробки в любую граничащую с ней по грани (но не может в граничащие лишь по ребру или вершине). Какое минимальное число отверстий в стенках коробок (всех размеров) ей предстоит прогрызть для осуществления своей мечты?
Опишите какой-нибудь путь мыши с минимальным числом отверстий в стенках и вычислите, у скольких маленьких коробок при этом окажутся прогрызены две противоположные стенки.
Замечание. Для разных путей, дающих верный ответ в этой задаче, может получиться разное число коробок с прогрызенными противоположными стенками. Участникам, у которых число таких коробок окажется наибольшим, будут вручены памятные призы. (Это достижение не влияет на оценку работы и присвоение званий победителя и призера олимпиады.)
Сложив все неравенства и поделив пополам, получим: 
то есть, что сумма длин любой пары противоположных рёбер меньше суммы двух других аналогичных сумм. Из неравенства треугольника следует существование искомого в условии треугольника.В кубическом сундуке со стороной 2n дм хранится 8n различных пряностей: в него упакованы восемь закрытых кубических коробок со стороной 2n−1 дм, в каждую из них — восемь закрытых кубических коробок со стороной 2n−2 дм, и так далее вплоть до коробок со стороной 1 дм, в каждой из которых лежит своя пряность.
В одной из маленьких коробок оказалась мышь, которая хочет отведать всех пряностей, посетив каждую коробку ровно по одному разу и вернувшись в конце пути в родную коробку. Прогрызая стенки, мышь может попадать из данной маленькой коробки в любую граничащую с ней по грани (но не может в граничащие лишь по ребру или вершине). Какое минимальное число отверстий в стенках коробок (всех размеров) ей предстоит прогрызть для осуществления своей мечты?
Опишите какой-нибудь путь мыши с минимальным числом отверстий в стенках и вычислите, у скольких маленьких коробок при этом окажутся прогрызены две противоположные стенки.
Замечание. Для разных путей, дающих верный ответ в этой задаче, может получиться разное число коробок с прогрызенными противоположными стенками. Участникам, у которых число таких коробок окажется наибольшим, будут вручены памятные призы. (Это достижение не влияет на оценку работы и присвоение званий победителя и призера олимпиады.)
В правильном тетраэдре с ребром, равным 8, отмечены 25 различных точек: 4 вершины и 21 произвольная точка внутри тетраэдра. Никакие 4 отмеченные точки не лежат в одной плоскости. Докажите, что найдется тетраэдр с вершинами в отмеченных точках, объем которого меньше единицы.
поскольку этот тетраэдр получается если взять не соединенные ребром вершины куба с ребром 
Заметим, что 
< 64, значит, если удастся тетраэдр разрезать на 64 тетраэдра с вершинами в отмеченных точках, то один из тетраэдров разбиения будет иметь объем меньше 1.
Если добавить к обеим частям 8, это уравнение можно записать как 
Правая часть является произведение простых чисел 2, 19 и 23, откуда легко следует, что это единственное разложение данного числа в произведение трёх натуральных чисел, больших 1, и одно из них равно 2. Однако левая часть уравнения является произведением трёх натуральных чисел, каждое из которых не меньше трёх, что приводит к противоречию. Следовательно, равенство из условия задачи невозможно.
Отметим, что 
В равногранном тетраэдре отметили основания и середины всех четырёх его медиан. Каждое основание медианы тетраэдра соединили с серединами трёх остальных. Докажите, что получившийся многогранник прямоугольный параллелепипед.
и 
Тог да основания медиан задаются формулой 
и аналогичными ей, а середины медиан формулой 
Рассмотрим первые два вектора. Введём дополнительные обозначения 
и 
Тогда нам нужно доказать, что 
то есть, что скалярное произведение этих векторов равно 0. Их скалярное произведение это 
а равенство его нулю равносильно равенству 
и 
то есть равенству длин 
и 
Но это равенство означает, что два противоположных ребра тетраэдра равны, что следует из равногранности тетраэдра. Перпендикулярность остальных пар векторов доказывается аналогично.В ортоцентрическом тетраэдре отметили основания и середины всех четырёх его медиан. Каждое основание медианы тетраэдра соединили с серединами трёх остальных. Докажите, что в получившемся многограннике все рёбра имеют равную длину.
и 
Отсюда полу чаем 
Вспоминая, что такое 
полу чаем 
что и требовалось доказать.
аналогичные обозначения введём для остальных рёбер.
и 
Заметим, что отрезок 
средняя линия в треугольнике 
значит, он равен половине ребра 
по длине и параллелен этому ребру. Но то же самое можно сказать и про ребро 
значит, эти отрезки параллельны и равны, т. е. образуют параллелограмм. Таким образом, четыре вершины, которые должны образовывать правильный тетраэдр, оказались лежащими в одно й плоскости. 
и 
—
а значит, подобен ему с коэффициентом 
откуда 
Кроме того, 
и 
так как 
и 
средние линии в треугольниках ABD и ACD соответственно. 
(и, очевидно, треугольника 
—
в то же время 
составляет 
от медианы треугольника 
Кроме того, они перпендикулярны, так как 
На рёбрах AC, BC, BS, AS правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S выбраны
точки K, L, M, N соответственно. Известно, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости, причём 
В четырёхугольнике KLMN расположены две окружности 
и 
причём окружность касается сторон KN, KL и LM, а окружность 
касается сторон KN, LM и MN. Прямые круговые конусы 
и 
с основаниями и соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина P конуса лежит на ребре AB, а вершина Q конуса лежит на
а) Найдите 
б) Найдите длину отрезка CQ.
и 
равны 1.
и середину AB. Тогда и конусы 
и 
также симметричны относительно этой плоскости. Поэтому P — середина AB. 
—
Более того, XY и SC — параллельны, то есть треугольники PCS и PXY подобны. 
и 
Тогда 
и 
Поскольку 
из подобия получаем 
то есть 
перпендикулярна XY, причём 
откуда 
Значит, 
и из подобия имеем 
и 
Пусть 
и XY — перпендикулярны, то 
— прямоугольник, так что 
Отсюда 
б) 
На рёбрах AC, BC, BS, AS правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S выбраны точки K, L, M, N соответственно. Известно, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости, причём 
В четырёхугольнике KLMN расположены две окружности и причём окружность касается сторон KN, KL и LM, а окружность касается сторон KN, LM и MN. Прямые круговые конусы и с основаниями и соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина P конуса лежит на ребре AB, а вершина Q конуса лежит
а) Найдите
б) Найдите длину отрезка CQ.
из подобия получаем 
откуда 
Значит, 
и из подобия имеем 
и 
Пусть 
и 
— прямоугольник, так что 
Отсюда 
б) 
Найдите ребра исходного тетраэдра.
Треугольник 
а значит, подобен ему с коэффициентом 
Кроме того, 
и 
так как 
в то же время 
Kpoме того, они перпендикулярны, так как 
Ребро A1A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно его грани ABCD. Сфера 
касается рёбер BB1, B1C1, C1C, CB, CD, и при этом касается ребра CD в такой точке K, что 
а) Найдите длину ребра A1A.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера касается ребра A1D1. Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и радиус сферы 
и ABCD — перпендикулярны, поэтому 
является прямоугольником. В этот прямоугольник можно вписать окружность (сечение сферы плоскостью 
значит, эта грань является квадратом. Пусть F — точка касания данной сферы с ребром BC. Отрезки CK и CF равны как касательные к сфере, проведённые из одной точки. Кроме того, окружность, вписанная в квадрат, касается его сторон в их серединах. Следовательно, F — середина BC и 
Значит, если сфера касается одного из этих рёбер, то она касается и второго. Обозначим точку касания сферы с рёбрами AD через M, а окружность, получающуюся в сечении сферы плоскостью ABCD, 
прямоугольный, 
—Ребро A1A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно его грани ABCD. Сфера касается рёбер BB1, B1C1, C1C, CB, C1D1, и при этом касается ребра C1D1 в такой точке K, что 
а) Найдите длину ребра A1A.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера касается ребра AD. Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и радиус сферы
значит, эта грань является квадратом. Пусть F — точка касания данной сферы с ребром 
Отрезки 
и 
равны как касательные к сфере, проведённые из одной точки. Кроме того, окружность, вписанная в квадрат, касается его сторон в их серединах. Следовательно, F — середина 
и 
Значит, если сфера касается одного из этих рёбер, то она касается и второго. Обозначим точку касания сферы с рёбрами 
через M, а окружность, получающуюся в сечении сферы плоскостью 
прямоугольный, 
равна 
На ребре BC параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 выбрана точка M. Сфера, построенная на отрезке C1M как на диаметре, касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда, причём одной из них в точке, лежащей на ребре B1B. Известно, что 
Найдите длину ребра AA1, радиус сферы и объём параллелепипеда.
—
то сфера этой грани не касается. Заметим, что если отрезок 
и 
(касание означало бы, что 
и отсюда следовало бы, что плоскости 
и 
притом последней в точке, лежащей на ребре 
Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно, 
находим, что 
тогда высота равна радиусу сферы (т. к. центр сферы лежит в грани 
Площадь основания равна 
