РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 683 Добавить в вариант

В правильной треугольной пирамиде проведено сечение, которое является квадратом. Найдите объем пирамиды, если сторона основания равна a, сторона квадрата в сечении равна b.

Спрятать решение

Решение.

Пусть H  — длина высоты пирамиды, l  — длина бокового ребра. Тогда объем пирамиды равен

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: a в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби умножить на H.$

Выразим высоту H через a и b. Так как

$H в квадрате =l в квадрате минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: l, знаменатель: a конец дроби = дробь: числитель: b, знаменатель: a минус b конец дроби ,$

то

$H в квадрате = дробь: числитель: a в квадрате b в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: a в квадрате b в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате конец дроби левая круглая скобка 2 b в квадрате плюс 2 a b минус a в квадрате правая круглая скобка в квадрате .$

Следовательно,

$V= дробь: числитель: a в кубе умножить на корень из: начало аргумента: 2 b в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 a b минус a в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 12 левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка конец дроби .$

Ответ: $V= дробь: числитель: a в кубе умножить на корень из: начало аргумента: 2 b в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 2 a b минус a в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 12 левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Многогранники

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь